Основы алгебры/Правило переноса слагаемого

При решении и преобразовании уравнений часто возникает потребность перенести слагаемое из одной стороны уравнения в другую. Необходимо отметить, что слагаемое может быть как со знаком «плюс», так и со знаком «минус». Правило говорит, что при переносе слагаемого из одной части уравнения в другую необходимо поменять знак. Также правило работает и для неравенств.

Примеры

• $5x+2=7x-6$.

Перенесём сначала $5x$ из левой части уравнения в правую:

$2=7x-6-5x$.

Теперь перенесём число (−6) из правой части в левую:

$2+6=7x-5x$

Заметьте, знак плюс поменялся на минус, а знак минус — на плюс. Причём неважно, является ли переносимое слагаемое числом, переменной или же целым выражением.

• $-3x^2(2+7x)-4+y=0$:

$-4+y=3x^2(2+7x)$

Отметим, что в этом примере слагаемым являлось целое выражение $-3x^2(2+7x)$. При этом нельзя отдельно переносить $-3x^2$ или $2+7x$, поскольку это лишь составные части слагаемого. По той же причине нельзя переносить $-3x^2\cdot 2$ или $7x$. Но можно раскрыть скобку и получить два слагаемых: $-3x^2\cdot 2$ и $-3x^2\cdot 7x$. Такие два слагаемых уже можно переносить по отдельности.

• Точно так же можно преобразовывать неравенства. Например:

$7x+25>14$

Перенесём все числа в одну сторону. В итоге имеем:

$7x>14-25$, откуда $7x>-11$

Доказательство

Две части уравнения по определению равны, поэтому можно вычесть из обеих частей уравнения одинаковое выражение, и равенство останется верным. По одну сторону знака «равно» оно сократится с тем, что было. По другую сторону равенства, выражение, которое мы вычли, появится со знаком «минус».

Примеры, иллюстрирующие доказательство

Для уравнений

Возьмём уравнение:

$5x+2=7x-6$

Допустим, мы хотим перенести все иксы из левой части уравнения в правую. Вычтем из обеих частей $5x$

$5x+2=7x-6$

Слева $5x$ сократится с $-5x$, и иксов не останется. Справа $7x$ сократится с $-5x$, и останется $2x$:

$2=2x-6$

Теперь можно привести подобные слагаемые:

$2+6=2x$

$2x=8$

$x=4$

Теперь нужно проверить, совпадают ли левая и правая части уравнения. Заменим неизвестную переменную получившимся результатом:

$5*4+2=7*4-6$

$22=22$

Тождество верно.

Правило для уравнений доказано,,,,

Для неравенств

Возьмём неравенство:

$5x+2>7x-6$

Допустим, мы хотим перенести все иксы из левой части неравенства в правую. Вычтем $5x$ из обеих частей. Слева $5x$ сократится с $-5x$, и иксов не останется. Справа $7x$ сократится с $-5x$ и останется $2x$:

$2>2x-6$

Теперь можно привести подобные слагаемые:

$2+6>2x$

$2x<8$

$x<4$

Следовательно, 4 — корень уравнения 5x+2=7x-6. Так как для него тождество доказано, то и для неравенств тоже, по определению.