Основы теоретической физики/Закон сохранения момента импульса

1.2.4. Закон сохранения момента импульса

Еще один закон сохранения, является следствием изотропии пространства. Изотропия означает, что свойства механических систем не меняются при любом повороте системы как целого в пространстве. Чтобы вывести этот закон, нужно рассмотреть бесконечно малый поворот системы и потребовать, чтобы функция Лагранжа при таком преобразовании оставалась постоянной.

Рассмотрим материальную точку с радиус-вектором $\overrightarrow{r}$ которая повернулась вокруг оси «z» на бесконечно малый угол $d\phi$. При таком повороте расстояние точки до оси «z» не изменяется, это расстояние равно $AC=BC=\mid \overrightarrow{r}\mid \sin \theta$. Линейное перемещение точки в пространстве можно тогда найти как половину основания в равнобедренном треугольнике ABC по формуле: Шаблон:ОТФ

Рис.1.3

Пусть $d\overrightarrow{\phi }$ - вектор, модуль которого равен углу поворота $d\phi$, а направление совпадает с осью поворота «z» по правилу винта. Тогда выражение Шаблон:ОТФ можно переписать как векторное произведение: Шаблон:ОТФ

При повороте меняется не только радиус-вектор, но и направление скорости материальной точки. Повторив для скорости те же рассуждения, которые мы сделали для радиус-вектора, получим аналогичное Шаблон:ОТФ выражение: Шаблон:ОТФ

Для изотропного пространства функция Лагранжа не должна меняться при повороте, значит ее полный дифференциал равен нулю: Шаблон:ОТФ

Воспользуемся определением импульса  Шаблон:ОТФ , а также выражениями Шаблон:ОТФ и Шаблон:ОТФ, подставив все в Шаблон:ОТФ получим: Шаблон:ОТФ

Для смешанного произведения векторов можно делать произвольную циклическую перестановку, поэтому Шаблон:ОТФ можно преобразовать: Шаблон:ОТФ

Интегрируя Шаблон:ОТФ, получим постоянную интегрирования – интеграл движения, который называется «моментом импульса»: Шаблон:ОТФ

Из формулы Шаблон:ОТФ сразу следует свойство аддитивности момента импульса, поскольку полный момент получается суммированием моментов всех частей системы.

Таким образом мы выяснили, что в замкнутой системе могут существовать всего семь аддитивных интегралов движения: энергия, вектор импульса и вектор момента импульса. Эти величины сохраняются при любом движении системы и связаны со свойствами однородности и изотропности пространства и однородностью времени.

См. также

<<Назад  |  Далее>>
Оглавление