Основы теоретической физики/Принцип наименьшего действия
1.1.2. Принцип наименьшего действия
Ещё античные философы замечали, что в природе существует некий универсальный закон, которому подчиняется любое движение (действие). Аристотель сформулировал этот закон (принцип) так: «Природа ничего не делает напрасно и всегда выбирает кратчайший или легчайший путь». Самым известным и наглядным воплощением этого принципа может служить закон отражения света, который сформулировал Птолемей: «угол падения света равен углу отражения и общий путь света при этом минимален». Долгое время оставалось непонятным, что из себя представляет действие с математической точки зрения. В 1744 году Леонард Эйлер предложил определять действие как произведение импульса на перемещение: Шаблон:ОТФ
С помощью такого определения действия, Эйлеру удалось вывести многие законы движения, которые до этого были лишь эмпирическими постулатами.
Современное определение действия ввел в обращение в 1834-1835 годах ирландский физик и математик Уильям Роуэн Гамильтон. Согласно сформулированному выше постулату Шаблон:ОТФ, любую механическую систему можно описать функцией, которая зависит только от координат, скоростей и времени. Для s степеней свободы в обобщенных координатах это будет функция вида:
Шаблон:ОТФ
Обычно принято сокращать запись, объединяя в формулах все компоненты координат и компоненты скоростей:
Шаблон:ОТФ
Опыт показывает, что для функции Шаблон:ОТФ существует общий принцип (постулат), который справедлив для любых механических систем: «принцип наименьшего действия». Данный принцип можно сформулировать следующим образом: если в моменты времени и , механическая система может характеризоваться двумя наборами координат:
Шаблон:ОТФ
Тогда траектория движения системы должна быть такой, чтобы интеграл:
Шаблон:ОТФ
имел минимальное возможное значение. В формуле Шаблон:ОТФ функция L называется «функцией Лагранжа», S – интеграл действия или просто «действие».
Сформулированный принцип наименьшего действия является основным, самым общим, постулатом механики. С помощью этого принципа можно получить уравнения, описывающие законы движения различных механических систем. Для упрощения записи формул ограничимся сначала рассмотрением систем с одной степенью свободы.
Путь минимум интеграла Шаблон:ОТФ достигается если тело движется по траектории, описываемой уравнением:
Шаблон:ОТФ
Это значит, что действие S возрастает при замене траектории Шаблон:ОТФ на любую другую функцию вида:
Шаблон:ОТФ
В выражении Шаблон:ОТФ второе слагаемое – это функция , которую будем считать бесконечно мало отличающейся от функции на всем интервале времени от до . Такие, бесконечно малые функции, в математике называются «вариацией».
Понятия вариации и функционала изучаются в разделе математики который носит название: «вариационное исчисление». Вариационные задачи известны еще с античных времен, но систематическое изложение этого раздела математики началось лишь в XVIII веке. Для понимания области применения вариационного исчисления можно привести пару примеров простейших вариационных задач:
- Из всех фигур с заданным периметром найти ту, которая имеет наибольшую площадь. Ответ: круг.
- Из всех фигур с заданной площадью поверхности найти ту, которая имеет наибольший объем. Ответ: шар.
Именно развитие вариационного исчисления помогло сформулировать принцип наименьшего действия в общем виде, а также вывести из этого принципа основные законы движения.
Если не вдаваться, однако, в математические подробности, то можно обойтись лишь знанием о том, что у вариации и дифференциала очень много общего. Для дальнейших выводов формул мы будем с вариацией проделывать в точности такие же математические операции, как если бы это был дифференциал.
Учитывая вышесказанное, мы можем записать принцип наименьшего действия математически, как равенство нулю вариации интеграла действия:
Шаблон:ОТФ
Траектория движения системы должна быть такой, чтобы вариация действия равнялась нулю. Другими словами, в механике постулируется, что любое тело может двигаться по единственной траектории, такой, чтобы равнялась нулю вариация действия.
Проделаем теперь с вариацией действия Шаблон:ОТФ математические операции аналогичные тем, какие обычно проводят с дифференциалом: внесем вариацию под знак интеграла, затем проварьируем функцию Лагранжа по всем переменным (пользуемся теми же правилами, какие относятся к дифференцированию функции многих переменных):
Шаблон:ОТФ
Для простоты будем полагать, что функция Лагранжа не зависит явно от времени, тогда:
Шаблон:ОТФ
Подставим Шаблон:ОТФ в Шаблон:ОТФ :
Шаблон:ОТФ
Преобразуем вариацию скорости:
Шаблон:ОТФ
Подставим Шаблон:ОТФ в Шаблон:ОТФ и проинтегрируем второе слагаемое в полученном выражении по частям:
Шаблон:ОТФ
По условию, которое мы сами определили, в начальной и конечной точках траектории, функция Шаблон:ОТФ имеет строго определённые значения Шаблон:ОТФ . Значит в начальной и конечной точках вариация равна нулю:
Шаблон:ОТФ
Подставим Шаблон:ОТФ в Шаблон:ОТФ :
Шаблон:ОТФ
Подставим теперь Шаблон:ОТФ в Шаблон:ОТФ :
Шаблон:ОТФ
Внесём оба слагаемых в правой части Шаблон:ОТФ под один знак интеграла, получим выражение:
Шаблон:ОТФ)
Таким образом, приравнивая к нулю подынтегральное выражение в Шаблон:ОТФ , для механической системы с одной степенью свободы получаем:
Шаблон:ОТФ
Аналогичное выражение можно получить и для функции Лагранжа систем с s степенями свободы:
Шаблон:ОТФ
Полученные уравнения Шаблон:ОТФ , в механике называют «Уравнениями Лагранжа». Если функция Лагранжа данной механической системы известна, то уравнения Шаблон:ОТФ устанавливают связь между ускорениями, скоростями и координатами. То есть и представляют собой уравнения движения системы. С математической точки зрения имеем s дифференциальных уравнений второго порядка, общее решение которых зависит от 2s произвольных постоянных. Для определения этих постоянных надо знать начальные условия. Например, начальные значения всех координат и скоростей.