Основы теоретической физики/Тензор энергии-импульса электромагнитного поля

2.4.15. Тензор энергии-импульса электромагнитного поля

Мы получили общие, справедливые для любой системы, формулы для тензора энергии-импульса. Применим эти формулы к электромагнитному полю.

Для электромагнитного поля выражение Шаблон:ОТФ представляет собой формулу Шаблон:ОТФ: Шаблон:ОТФ

Очевидно, что в данном случае, роль обобщенных координат q играют компоненты 4-потенциала поля A_l, поэтому для тензора энергии-импульса Шаблон:ОТФ получаем: Шаблон:ОТФ

Или для контрвариантных компонент: Шаблон:ОТФ

Полученный тензор не симметричен, а значит не удовлетворяет закону сохранения импульса Шаблон:ОТФ. Для симметризации надо добавить к Шаблон:ОТФ величину: Шаблон:ОТФ

Можно показать, что эта операция не повлияет на закон сохранения Шаблон:ОТФ и не изменит полный импульс системы. Поэтому из Шаблон:ОТФ и Шаблон:ОТФ для тензора энергии-импульса электромагнитного поля без зарядов, получим окончательное выражение: Шаблон:ОТФ

В общем случае, тензор энергии-импульса системы, находится как сумма тензоров энергии-импульса электромагнитного поля и частиц. Для определения вида тензора энергии-импульса частиц необходимо описывать распределение масс в пространстве с помощью функции «плотности массы». По аналогии с формулой для плотности распределения зарядов, плотность массы можем записать: Шаблон:ОТФ

Где ${\overrightarrow{r}}_a$ - радиус-векторы частиц, а суммирование ведется по всем частицам системы.

Заметим, что плотность массы Шаблон:ОТФ — это такая функция, объемный интеграл от которой, равен полной массе всех частиц: Шаблон:ОТФ

Аналогично можно определить и плотность 4-импульса: Шаблон:ОТФ

Компоненты 4-импульса частиц находятся по формуле Шаблон:ОТФ, поэтому для плотности 4-импульса получаем: Шаблон:ОТФ

Пусть $U^i(\overrightarrow{r})$ — это некоторая гладкая векторная функция координат, которая в каждой точке $\overrightarrow{r}={\overrightarrow{r}}_a$, совпадает с 4-скоростью $U_a^i$. При интегрировании по объему тогда получим: Шаблон:ОТФ

Значит плотность импульса можно записать в виде: Шаблон:ОТФ

С другой стороны, плотность импульса находится через тензор энергии-импульса по формуле Шаблон:ОТФ, значит:

Пользуясь аналогией с плотностью зарядов, плотность массы Шаблон:ОТФ можно представить как временную компоненту 4-мерного вектора тока Шаблон:ОТФ Шаблон:ОТФ

Значит, домножив на c²Uⁱ, получим все компоненты тензора энергии импульса в виде: Шаблон:ОТФ

Наконец, заменив производную 4-координаты по времени в Шаблон:ОТФ через 4-скорость, получим окончательное выражение для тензора энергии-импульса невзаимодействующих частиц: Шаблон:ОТФ

Если в Шаблон:ОТФ взять производную интервала по времени, то получим эквивалентное выражение для тензора энергии-импульса через «плотность собственной массы» частиц: Шаблон:ОТФ

Где m_a0 — это «собственная масса» частиц в системе отсчета, относительно которой частицы неподвижны.

Отметим, что если скорости точечных частиц, относительно друг друга, малы по сравнению со скоростью света, то систему частиц можно рассматривать как составные части единого, макроскопическое тела и тогда формулу Шаблон:ОТФ можно использовать для вычисления компонент тензора энергии-импульса такого тела. Скорость системы как целого, при этом, может быть релятивистской.

Если скорость движения макроскопического тела много меньше скорости света, то можно пренебречь всеми пространственными компонентами 4-скорости Uⁱ и U^k, оставив только временную, которая равна единице. То есть в нерелятивистском приближении получаем, что ненулевой остается только одна компонента тензора энергии-импульса: Шаблон:ОТФ

См. также

<<Назад  |  Далее>>
Оглавление