Основы теоретической физики/Четырёхмерный вектор тока

2.4.7. Четырёхмерный вектор тока

Рассмотрим некоторый объем V, внутри которого распределены точечные заряды. Тогда «плотность заряда» можно определить формулой: Шаблон:ОТФ

При таком определении интеграл от плотности заряда по некоторому объему, будет равен полному заряду. Нужно, однако понимать, что в релятивистской механике заряды рассматриваются как точечные частицы, значит плотность заряда Шаблон:ОТФ равна нулю везде, кроме тех точек, где находятся заряды. Поэтому, математически более верно, будет определять плотность заряда с помощью $\delta$ -функции в виде: Шаблон:ОТФ

Где сумма берется по всем зарядам, а ${\overrightarrow{r}}_a$ — это радиус-вектор заряда. Дельта-функция $\delta (\overrightarrow{r}-{\overrightarrow{r}}_a)$, по определению, это функция, которая равна нулю везде, кроме точек $\overrightarrow{r}={\overrightarrow{r}}_a$(в этих точках она равна бесконечности), при этом выполняется равенство: Шаблон:ОТФ

То есть плотность заряда – это такая функция, интегрирование которой по объему даст сумму всех зарядов в системе: Шаблон:ОТФ

Как известно, движущиеся заряды создают ток. Если рассматривать ток, создаваемый за счет движения всего объема как целого, то трехмерной «плотностью тока» называется произведение плотности заряда на скорость: Шаблон:ОТФ

Определим четырехмерную плотность тока или «четырехмерный вектор тока» по следующей формуле: Шаблон:ОТФ

Полный заряд, находящийся во всем пространстве Шаблон:ОТФ, теперь можно получить в четырехмерном виде: Шаблон:ОТФ

где интегрирование ведется по всей четырехмерной поверхности, перпендикулярной оси времени. Найдем выражение для действия зараженной частицы и поля через четырехмерный вектор тока. Для этого воспользуемся формулой Шаблон:ОТФ: Шаблон:ОТФ

Во втором слагаемом стоит суммирование по точечным зарядам. Заменим это суммирование интегрированием по объему с помощью определения Шаблон:ОТФ: Шаблон:ОТФ

Дифференциал от четырехмерного радиус-вектора заменим, воспользовавшись определением Шаблон:ОТФ: Шаблон:ОТФ

Подставим Шаблон:ОТФ и Шаблон:ОТФ в формулу Шаблон:ОТФ и получим окончательно для действия, выражение через четырехмерные вектора и тензоры: Шаблон:ОТФ

См. также

<<Назад  |  Далее>>
Оглавление