Решение систем дифференциальных уравнений

Дифференциальные уравнения, являясь подмножеством функциональных уравнений, довольно редко допускают аналитическое решение. В подобных ситуациях для их приближённого решения применяют численные методы.

Численные методы не могут дать решения дифференциальной задачи, но могут обеспечить некоторое приближение к такому решению.

Часто для получения такого приближения используют т. н. сеточную аппроксимацию функций. То есть вместо функций непрерывного аргумента вводят функции дискретного аргумента. А вместо дифференциальных операторов — разностные. Будем называть параметром сетки такую величину $h$, что расстояние между любыми двумя соседними узлами сетки не превосходит h.

Гиперболические уравнения

Введение

Системы гиперболических уравнений возникают во многих задачах вычислительной физики. Хороший проработанный пример — газовая динамика. В приложениях часто используются гиперболические системы уравнений, представляемые в виде:

$\frac{\partial \overrightarrow{U}}{\partial t}+\sum _{j=1}^m{A}_j\frac{\partial \overrightarrow{U}}{\partial x_j}=\overrightarrow{b}$

Где матрица $A$ имеет полный набор собственных векторов и, соответственно, представима в виде

$A={\mathrm{\Omega }}_R\mathrm{\Lambda }{\mathrm{\Omega }}_L$

Где ${\mathrm{\Omega }}_R={\mathrm{\Omega }}_L^{-1}$ — матрица, составленная из правых собственных векторов матрицы $A$ как из столбцов. $\mathrm{\Lambda }=diag[{\lambda }_1,{\lambda }_2,...,{\lambda }_n]$ — матрица собственных значений матрицы $A$.

Эта форма записи называется неконсервативной, в противовес не менее часто используемой консервативной форме, связанной с физическими законами сохранения в явном виде:

$\frac{\partial \overrightarrow{U}}{\partial t}+\sum _{j=1}^m\frac{\partial F_j(\overrightarrow{U})}{\partial x_j}=\overrightarrow{B}$

Дело в том, разностная схема для консервативной формы уравнений, записанная в виде

$\frac{{\overrightarrow{U}}_{\overrightarrow{r}}^{n+1}-{\overrightarrow{U}}_{\overrightarrow{r}}^n}{\delta t}+\sum _{j=1}^m\frac{F_{j,\overrightarrow{r}+1/2{\overrightarrow{h}}_j}-F_{j,\overrightarrow{r}-1/2{\overrightarrow{h}}_j}}{h_j}={\overrightarrow{B}}_{\overrightarrow{r}}$

автоматически гарантирует точное выполнение на приближенном решении законов сохранения, в то время как разностные соотношения, получаемые из неконсервативной формы, соблюдают законы сохранения лишь приближенно - в рамках аппроксимации.

Разностные схемы

Простейшим и исходным объектом исследования в теории систем гиперболических уравнений является одиночное уравнение переноса:

$\frac{\partial U}{\partial t}+\lambda \frac{\partial U}{\partial x}=0$

Где $U$ — искомая функция переменных $(x,t)$. $\lambda$ — некоторая постоянная.

Это уравнение очень удобно уже тем, что нам хорошо известно его аналитическое решение:

$U(x,t)=U_0(x-\lambda t)$

где $U_0(x)$ — произвольная функция.

Первый вопрос, который возникает — а зачем численно решать уравнение, для которого известно аналитическое решение? Ответ прост — дело в том, что это уравнение будет «вылезать» из решения сложных многомерных систем, и параметры, которые в него входят будут меняться в зависимости от решения да и заданы будут не всюду, а лишь в некоторых точках, что делает прямое применение аналитического решения невозможным.

Итак, приступим к построению простейшей схемы для данного уравнения.

Пусть функция $U$ задана на узлах пространственной сетки $x_m$ в момент времени $t_n$ и мы хотим получить ее значения в тех же узлах в момент $t_{n+1}$.

Воспользуемся простейшими формулами для аппроксимации производных и получим: $\frac{U_m^{n+1}-U_m^n}{\tau }+\lambda \frac{U_m^n-U_{m-1}^n}{h}=0$

Тогда для значения $U_m^{n+1}$ может быть выписано выражение в явном виде:

$U_m^{n+1}=U_m^n-\tau \lambda \frac{U_m^n-U_{m-1}^n}{h}$

Эта простейшая схема может быть легко реализована и запущена. См пункт реализация.

Приведенная схема не работает при $\lambda <0$.

Ответ достаточно очевиден — «перенос» справа налево не работает в схеме, в которой нет точек справа. Хотелось бы добавить в схему что-то вроде $U_{m+1}$. Как это сделать? Простейший способ — построить «комбинированную» схему:

$U_m^{n+1}=U_m^n-\tau \lambda \frac{U_m^n-U_{m-1}^n}{h},\lambda \ge 0$ $U_m^{n+1}=U_m^n-\tau \lambda \frac{U_{m+1}^n-U_m^n}{h},\lambda <0$

Литература

• Куликовский А. Г., Погорелов Н. В., Семенов А. Ю. Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений. — М.:ФИЗМАТЛИТ,2001. — 608с. — ISBN 5-9221-0194-3