Теоретические задачи с XXXV международной физической олимпиады в Корее

Отчёт об олимпиаде читайте на сайте журнала Потенциал по адресу http://potential.org.ru/bin/view/Phys/ArtDt200501192007PH7C4J1

Сопротивление "Пинг-понг"

Конденсатор состоит из двух параллельных пластин в форме кругов радиусом R, расположенных на расстоянии d (d<<R) друг от друга (рис 1.1а). Верхняя пластина присоединена к источнику постоянного напряжения с потенциалом V, а нижняя пластина заземлена. Затем тонкий маленький диск массой m радиусом r (r<<R,d) и пренебрежимо малой толщиной (t<<r) помещают в центр нижней пластины (рис 1.1b). Пластины и диск, изготовленные из хорошо проводящего материала, находятся в вакууме. Всеми электростатическими краевыми эффектами и индуцированными зарядами, а также индуктивностью всей цепи и связанными с ней эффектами можно пренебречь. Диэлектрическая постоянная ε₀ считается известной.

Файл:Pong.jpg

Рисунок 1.1 Схематический чертеж параллельных пластин конденсатора, подключенных к источнику постоянного напряжения, (а) и вид сбоку параллельных пластин с маленьким диском, помещённым внутри конденсатора (b). (Смотри подробное описание в тексте).

(а) [1.2 балла] Рассчитайте электростатическую силу F_p взаимодействия между пластинами, находящимися на расстоянии d, до помещения диска между ними (рис. 1.1а).

(b) [0.8 балла] Когда диск помещён на нижнюю пластину (рис. 1.1b), диск приобретает заряд q, пропорциональный напряжению V на конденсаторе: q = CV. Выразите C через r, d и ε₀.

(c) [0.5 балла] Параллельные пластины конденсатора расположены перпендикулярно гравитационному полю g. Чтобы диск в первый раз поднялся вверх из исходного положения, необходимо приложить напряжение V, превышающее пороговое значение V_th. Выразите V_th через m, g, d и C .

(d) [2.3 балла] При V > V_th диск движется вверх-вниз между пластинами. (Предполагается, что диск движется строго вертикально без качания). Столкновения между диском и пластиной неупругие с коэффициентом восстановления η (V_after /V_before ), где V_before и V_after – скорости диска соответственно до и после столкновения. Пластины закреплены неподвижно. После большого количества столкновений скорость диска сразу после очередного столкновения с нижней пластиной стремится к значению, которое назовём «скоростью в установившемся режиме» V_s. Величина V_s зависит от V по формуле: ${\text{v}}_{\text{s}}=\sqrt{\alpha V^2+\beta }$

Выразите коэффициенты α и β через m, g , C , d и η. Предполагается, что диск касается пластины одновременно всей поверхностью, так что полная перезарядка происходит мгновенно при каждом столкновении.

(e) [2.2 балла] В установившемся режиме средний по времени ток I через обкладки конденсатора при условии qV << mgd может быть представлен в виде I = γV². Выразите коэффициент γ через m, C, d и η.

(f) [3 балла] При очень медленном уменьшении приложенного напряжения V существует критическое значение напряжения V_c, ниже которого ток скачком прекращает течь. Выразите V_c и соответствующий ему ток Ic через m, g, C, d и η. Сравнив V_c с пороговым значением Vth , определенным в пункте (с), приближённо изобразите зависимости I от V (на листе ответов) при увеличении и при уменьшении V в пределах от V = 0 до 3V_th.

Ответ к задаче Сопротивление "Пинг-понг"

(a) При подключении к источнику между пластинами возникает однородное электростатическое поле, модуль напряжённости которого $E=\frac{V}{d}$. Так как это поле создаётся зарядами каждой из пластин и эти заряды равны между собой по модулю, то $E=E_u+E_d\Rightarrow E_u=E_d=\frac{E}{2}=\frac{V}{2d}$. Поле, создаваемое нижней пластиной, действует на верхнюю с силой $F_p=q_u{E}_d$. Заряды пластин $q_u=-q_d=CV$, где $C=\frac{{\epsilon }_{0}S}{d}=\frac{{\epsilon }_0\pi R^2}{d}$ - ёмкость конденсатора, образованного этими пластинами. Сила взаимодействия между пластинами Шаблон:Рамка $F_p=\frac{{\epsilon }_0\pi R^2{V}^2}{2d^2}$. Шаблон:Акмар

(b) Заряд участка поверхности нижней пластины, на котором находится диск, полностью переходит на диск. Диск приобретает заряд $q=q_d\frac{r^2}{R^2}=-\frac{{\epsilon }_0\pi R^2}{d}V\frac{r^2}{R^2}=-\frac{{\epsilon }_0\pi r^2}{d}V$. Шаблон:Рамка $\chi =-\frac{{\epsilon }_0\pi r^2}{d}$. Шаблон:Акмар

(c) Диск оторвётся от нижней пластины, если действующая на него со стороны электростатического поля сила превзойдет силу тяжести. Электростатическое поле будет действовать на диск с силой $F_e=\left|q\right|E_u=\left|\chi \right|V\frac{V}{2d}=\left|\chi \right|\frac{V^2}{2d}$. При пороговом значении приложенного напряжения $F_e=\left|\chi \right|\frac{V_{th}^2}{2d}=mg$. Пороговое значение напряжения Шаблон:Рамка $V_{th}=\sqrt{\frac{2mgd}{\left|\chi \right|}}$. Шаблон:Акмар

(d) После столкновения с нижней пластиной в установившемся режиме диск приобретает скорость v_s и заряд q. Перед ударом о верхнюю пластину его скорость $v_{before}^{up}$ можно выразить из энергетических соображений: $\frac{m{\left(v_{before}^{up}\right)}^2}{2}=\frac{m{v}_s^2}{2}-mgd+\left|q\right|V$.

После удара о верхнюю пластину скорость диска $v_{after}^{up}=\eta v_{before}^{up}$, а его заряд равен –q. Скорость диска перед очередным ударом о нижнюю пластину $v_{before}^{down}$: $\frac{m{\left(v_{before}^{down}\right)}^2}{2}=\frac{m{\left(v_{after}^{up}\right)}^2}{2}+mgd+\left|q\right|V$. Скорость диска после удара о нижнюю пластину $v_{after}^{down}=\eta v_{before}^{up}=v_s$.

Используя приведённые соотношения, выражаем $v_s=\sqrt{\frac{2\left|\chi \right|}{m}\cdot \frac{{\eta }^2}{1-{\eta }^2}\cdot V^2+2gd\cdot \frac{{\eta }^2}{1+{\eta }^2}}$. Шаблон:Рамка $\alpha =\frac{2\left|\chi \right|}{m}\cdot \frac{{\eta }^2}{1-{\eta }^2};\beta =2gd\cdot \frac{{\eta }^2}{1+{\eta }^2}$. Шаблон:Акмар

(e) Средний по времени ток через обкладки конденсатора $I=\frac{\mathrm{\Delta }q}{\mathrm{\Delta }t}$, где $\mathrm{\Delta }q=2\left|q\right|$ – заряд, который переносит диск за один цикл (вверх – вниз) движения между пластинами, $\mathrm{\Delta }t=t_{up}+t_{down}$ – время движения диска от нижней пластины до верхней и обратно. Так как и движение вверх, и движение вниз происходят с постоянными ускорениями, можно выразить средние скорости этих движений: $\overline{v_{up}}=\frac{v_s+v_{before}^{up}}{2}$; $\overline{v_{down}}=\frac{v_{after}^{up}+v_{before}^{down}}{2}$. Тогда $t_{up}=\frac{2d}{v_s+v_{before}^{up}}$ и $t_{down}=\frac{2d}{v_{after}^{up}+v_{down}^{before}}$.

Среднюю силу тока $I=\frac{2\left|q\right|}{t_{up}+t_{down}}=\frac{\left|q\right|}{d}{\left(\frac{1}{v_s+v_{before}^{up}}+\frac{1}{v_{after}^{up}+v_{down}^{before}}\right)}^{-1}$ найдём, используя выражения для $v_{before}^{up}$ ;$v_{after}^{up}$ ;$v_{before}^{down}$ из части (d). Учитывая, что $\left|q\right|V>>mgd$, $I=V^2\sqrt{\frac{1+\eta }{\left(1-\eta \right)}\cdot \frac{{\left|\chi \right|}^3}{2m{d}^2}}$. Шаблон:Рамка $\gamma =\sqrt{\frac{\left(1+\eta \right)}{\left(1-\eta \right)}\cdot \frac{{\left|\chi \right|}^3}{2m{d}^2}}$. Шаблон:Акмар

(f) Ток перестаёт течь, если кинетической энергии диска после удара о нижнюю пластину оказывается недостаточно, чтобы долететь до верхней пластины: $\frac{m{v}_s^2}{2}<mgd-\left|q\right|V$. Используя выражение для V_s, получим условие, которому должно удовлетворять V, чтобы ток прекратился: $V<\sqrt{\frac{1-{\eta }^2}{1+{\eta }^2}\cdot \frac{mgd}{\left|\chi \right|}}$. Критическое значение напряжения Шаблон:Рамка $V_c=\sqrt{\frac{1-{\eta }^2}{1+{\eta }^2}\cdot \frac{mgd}{\left|\chi \right|}}<V_{th}$ Шаблон:Акмар При таком напряжении скорость диска при подлёте к верхней пластине обращается в нуль. Тогда время движения вверх $t_{up}=\frac{2d}{v_s}$, время движения вниз

$t_{down}=\frac{2d}{(v_s/\eta )}=\frac{2\eta d}{v_s}$.

Сила тока $I_c=\frac{2\left|q\right|}{2d\left(1+\eta \right)}{v}_s=\frac{\left|\chi \right|V_c}{d\left(1+\eta \right)}\sqrt{\frac{2\left|\chi \right|}{m}\cdot \frac{{\eta }^2}{1-{\eta }^2}\cdot V_c^2+2gd\cdot \frac{{\eta }^2}{1+{\eta }^2}}$.

С учётом выражения для V_c , Шаблон:Рамка $I_c=\frac{2\eta g}{\left(1+\eta \right)\left(1+{\eta }^2\right)}\sqrt{\left|\chi \right|m\left(1-{\eta }^2\right)}$. Шаблон:Акмар График зависимости I от V при увеличении и уменьшении V будет иметь следующий вид:

Файл:Grpp.jpg

Поднимающийся шар

Резиновый шар, наполненный гелием, поднимается в небо. Давление и температура атмосферного воздуха уменьшаются с высотой. В дальнейшем будем предполагать, что сферическая форма шара сохраняется, несмотря на прикреплённый к нему груз, и пренебрежём объёмом самой оболочки и груза. Будем также предполагать, что температура гелия внутри шара совпадает с температурой окружающего воздуха, и считать гелий и воздух идеальными газами. Универсальная газовая постоянная R=8,31 Дж/(моль•К); молярные массы гелия M_H и воздуха M_A равны M_H = 4,00 x 10^-3 кг/моль и M_A = 28,9 x 10^-3 кг/моль соответственно. Ускорение свободного падения g=9,8 м/с².

ЧАСТЬ А

(а) [1.5 балла] Предположим, что окружающий воздух имеет давление P и температуру T. Давление внутри шара выше наружного из-за упругих свойств оболочки. Пусть шар содержит n молей гелия и давление внутри него равно P+ΔP. Определите выталкивающую силу F_B, действующую на шар, как функцию от P и ΔP.

(b) [2 балла] В Корее в один из летних дней было найдено, что температура T воздуха на высоте z над уровнем моря задаётся соотношением T(z)=T₀(1 – z/z⁰) в диапазоне 0< z <15 км, где z₀ =49 км и T₀ =303 К. Давление P₀ и плотность воздуха ρ₀ на уровне моря равны P₀=1 атм = 1,01 x 105 Па и ρ₀=1,16 кг/м3 соответственно. В указанном диапазоне высот давление изменяется с высотой по закону $P(z)=P_0(1-z/z_0{)}^{\eta }(2.1)$ Выразите постоянную η через величины z₀, ρ₀, P₀, и g; определите её значение с точностью до двух значащих цифр. Считайте ускорение свободного падения g постоянным, не зависящим от высоты.

ЧАСТЬ В

Когда резиновый шар (с радиусом r₀ в нерастянутом состоянии) раздувается до сферы радиуса $r(\ge r_0)$, его оболочка из-за растяжения приобретает упругую энергию. В упрощённой теории упругая энергия U надутой сферической оболочки при постоянной температуре T описывается выражением $U=4\pi r_0^{2}kRT(2{\lambda }^2+\frac{1}{{\lambda }^4}-3)(2.2)$

где $\lambda \equiv {\mathrm{r}/\mathrm{r}}_{\mathrm{0}}(\ge 1)$ – коэффициент растяжения (по радиусу), а k – некоторая константа, выраженная в единицах моль/м².

(c) [2 балла] Выразите ΔP через параметры, входящие в выражение (2.2), и изобразите графически (на листе ответов) зависимость ΔP от λ.

(d) [1.5 балла] Постоянная величина k может быть определена через количество молей гелия, необходимых для надувания шара. При T₀ = 303 К и P₀ = 1,0 атм нерастянутый шар (при r = r⁰) содержит n₀ = 12,5 молей гелия. Для раздувания шара до значения λ = 1,5 при неизменных температуре T₀ и внешнем давлении P₀ в нём должно находиться в общей сложности n = 3,6n₀ = 45 молей гелия. Выразите параметр a оболочки, определяемый как отношение a = k/k₀ (где $k_0\equiv \frac{r_0{P}_0}{4R{T}_0}$), через n, n₀ и λ. Вычислите его значение с точностью до двух значащих цифр.

ЧАСТЬ С

Шар накачали на уровне моря как в пункте (d) (коэффициент растяжения по радиусу λ =1,5, число молей гелия внутри n=3,6n₀=45 молей, при температуре T₀=303К и давлении P₀=1,0 атм=1,01x10⁵ Па). Общая масса шара, включая газ, оболочку и груз, равна M_T=1,12 кг. Такой шар начинает подниматься от уровня моря.

(e) [3 балла] Пусть этот шар поднялся до такой высоты z_f , на которой выталкивающая сила уравновешивается суммарной силой тяжести. Определите z_f и коэффициент растяжения λ_f на этой высоте. Рассчитайте их числовые значения с точностью до двух значащих цифр. Утечкой газа и боковым смещением из-за ветра пренебрегите

Ответ к задаче Поднимающийся шар

ЧАСТЬ А

(a) Выталкивающая сила $F_B=\rho gV$, где $\rho =\frac{p{M}_A}{RT}$ – плотность окружающего воздуха, $V=\frac{nRT}{\left(p+\mathrm{\Delta }p\right)}$ – объём гелия. Шаблон:Рамка $F_B=\frac{p}{\left(p+\mathrm{\Delta }p\right)}n{M}_{A}g$. Шаблон:Акмар (b) Рассмотрим слой воздуха толщиной dz, расположенный на высоте z. Условие равновесия этого слоя $\rho (z)gdz=-dp$ или $-\frac{dp}{dz}=\rho \left(z\right)g$.

$\frac{dp}{dz}=-\frac{\eta p_0}{z_0}{(1-z/z_0)}^{\eta -1}$;

$\rho (z)=\frac{p(z)M_A}{RT(z)}=\frac{p_0{M}_A}{R{T}_0}{(1-z/z_0)}^{\eta -1}$.

Таким образом, $\frac{\eta p_0}{z_0}=\frac{p_0{M}_A}{R{T}_0}g$ и Шаблон:Рамка $\eta =\frac{M_{A}g{z}_0}{R{T}_0}\approx 5.5$. Шаблон:Акмар

ЧАСТЬ В

(c) Позволим оболочке бесконечно медленно растягиваться. При увеличении её радиуса на dr силы давления (газа внутри оболочки и окружающего воздуха) совершат работу $\delta A=\mathrm{\Delta }p\cdot 4\pi r^{2}dr$. Энергия упругой деформации оболочки при этом возрастёт на $dU=\frac{dU}{dr}\cdot dr=4\pi r_0^{2}kRT\left(\frac{4r}{r_0^2}-\frac{4r_0^4}{r^5}\right)dr$.

$\delta A=dU\Rightarrow \mathrm{\Delta }p=\frac{4kRT}{r_0}{\left(\frac{r_0}{r}\right)}^2\left(\frac{r}{r_0}-\frac{r_0^5}{r^5}\right)$. Искомая зависимость имеет вид $\mathrm{\Delta }p=\frac{4kRT}{r_0}\left({\lambda }^{-1}-{\lambda }^{-7}\right)$. Эта зависимость имеет максимум при $\lambda =\sqrt[6]{7}\approx 1.38$. При $\lambda =1\mathrm{\Delta }p=0$. При $\lambda \gg 1\mathrm{\Delta }p\sim 1/\lambda$. Примерный график зависимости $\mathrm{\Delta }p(\lambda )$ при $\lambda \ge 1$ приведён на рисунке 2.1.

Рис.2.1. Файл:Ris21.jpg

(d) При $r=r_0$ давление гелия в шаре равно атмосферному $p_0=\frac{n_{0}R{T}_0}{\frac{4}{3}\pi r_0^3}$. При раздувании шара давление гелия $\left(p_0+\mathrm{\Delta }p\right)=\frac{nR{T}_0}{\frac{4}{3}\pi r^3}\Rightarrow \mathrm{\Delta }p=\frac{R{T}_0}{\frac{4}{3}\pi r_0^3}\left(\frac{n}{{\lambda }^3}-n_0\right)$.

Используя выражение для $\mathrm{\Delta }p$ из пункта (с), выражаем $k=\frac{1}{4}\cdot \frac{r_0}{\frac{4}{3}\pi r_0^3}\cdot \frac{(n/{\lambda }^3-n_0)}{\left({\lambda }^{-1}-{\lambda }^{-7}\right)}=\frac{r_0{p}_0}{4R{T}_0}\cdot \left(\frac{n/\left(n_0{\lambda }^3\right)-1}{{\lambda }^{-1}-{\lambda }^{-7}}\right)$.

Шаблон:Рамка $a=\frac{n/\left(n_0{\lambda }^3\right)-1}{{\lambda }^{-1}-{\lambda }^{-7}}\approx 0.11$. Шаблон:Акмар

ЧАСТЬ С

(e) Условие равновесия шара на высоте $z_f$: $M_{T}g=F_B=M_{A}ng\frac{p_f}{p_f+{\left(\mathrm{\Delta }p\right)}_f}$.

$\frac{p_f+{\left(\mathrm{\Delta }p\right)}_f}{p_f}=\frac{M_{A}n}{M_T}$. Так как количество гелия в шаре постоянно, то:

$\frac{\left(p_0+{\left(\mathrm{\Delta }p\right)}_0\right){\lambda }^3}{T_0}=\frac{\left(p_f+{\left(\mathrm{\Delta }p\right)}_f\right){\lambda }_f^3}{T_f}\Rightarrow \left(p_f+{\left(\mathrm{\Delta }p\right)}_f\right)=\left(p_0+{\left(\mathrm{\Delta }p\right)}_0\right)\frac{T_f}{T_0}{\left(\frac{\lambda }{{\lambda }_f}\right)}^3$.

$\frac{p_f+{\left(\mathrm{\Delta }p\right)}_f}{p_f}$ $=\frac{p_0+{\left(\mathrm{\Delta }p\right)}_0}{T_0}\cdot \frac{T_f}{p_f}\cdot {\left(\frac{\lambda }{{\lambda }_f}\right)}^3$$=\frac{n{M}_A}{M_T}$.

Из п.(c): $\mathrm{\Delta }{p}_f=\frac{4kR{T}_f}{r_0}\left({\lambda }_f^{-1}-{\lambda }_f^{-7}\right)$.

$1+\frac{{\left(\mathrm{\Delta }p\right)}_f}{p_f}=1+\frac{4kR{T}_f}{r_0{p}_f}\left({\lambda }_f^{-1}-{\lambda }_f^{-7}\right)=\frac{n{M}_A}{M_T}$.

$\frac{T_f}{p_f}=\left(\frac{n{M}_A}{M_T}-1\right)\frac{r_0}{4kR\left({\lambda }_f^{-1}-{\lambda }_f^{-7}\right)}=\frac{n{M}_A}{M_T}\cdot {\left(\frac{{\lambda }_f}{\lambda }\right)}^3\cdot \frac{T_0}{p_0+{\left(\mathrm{\Delta }p\right)}_0}$.

Учтём, что $\frac{4kR{T}_0}{r_0}=a{p}_0$, след., $\left({\lambda }_f^2-{\lambda }_f^{-4}\right)=\frac{p_0+{\left(\mathrm{\Delta }p\right)}_0}{a{p}_0}\left(1-\frac{M_T}{n{M}_A}\right){\lambda }^3$.

Т.к. ${\lambda }_f>\lambda$,

где $\lambda =1,5$

то $\left({\lambda }_f^2-{\lambda }_f^{-4}\right)\approx {\lambda }_f^2$.

${\left(\mathrm{\Delta }p\right)}_0=\frac{4kR{T}_0}{r_0}\left({\lambda }^{-1}-{\lambda }^{-7}\right)\approx a{p}_0{\lambda }^{-1}$.

Т.о., Шаблон:Рамка ${\lambda }_f\approx \sqrt{(\frac{1}{a}+\frac{1}{\lambda })(1-\frac{M_T}{n{M}_A}){\lambda }^3}\approx 2.14$. Шаблон:Акмар

$\frac{p_f}{T_f}=\frac{p_0}{T_0}{\left(1-\frac{z_f}{z_0}\right)}^{\eta -1}=\frac{p_0+{\left(\mathrm{\Delta }p\right)}_0}{T_0}{\left(\frac{\lambda }{{\lambda }_f}\right)}^3\frac{M_T}{n{M}_A}\approx \frac{p_0}{T_0}\left(1+\frac{a}{\lambda }\right){\left(\frac{\lambda }{{\lambda }_f}\right)}^3\frac{M_T}{n{M}_A}$.

Из последнего выражения находим Шаблон:Рамка $z_f\approx 11$км. Шаблон:Акмар

Атомный зондирующий микроскоп

Атомный зондирующий микроскоп (АЗМ) является мощным исследовательским инструментом в области нанофизики. Движение датчика АЗМ регистрируется с помощью фотодетектора, принимающего отражённый луч лазера, как показно на рис.3.1. Датчик закреплён на упругой горизонтальной пластинке и может колебаться только в вертикальном направлении. Его смещение z, зависящее от времени t, описывается уравнением $m\frac{d^{2}z}{d{t}^2}+b\frac{dz}{dt}+kz=F$

                                                                           ,

где m – масса датчика, $k-m{\omega }_0^2$ - коэффициент упругости пластинки, b – малый коэффициент затухания, удовлетворяющий условию ${\omega }_0\gg (b/m)>0$,

F - внешняя сила, действующая на датчик со стороны пьезоэлемента.

Файл:Zondmicro.jpg

Рис.3.1 Упрощённая схема атомного зондирующего микроскопа (АЗМ). В правом нижнем углу показана упрощённая механическая модель, описывающая принцип работы датчика и его связь с пьезоэлементом.

ЧАСТЬ А

(a) [1.5 балла] Если $F=F_0\sin \omega t,$ то зависимость z(t), удовлетворяющая уравнению (3.1), имеет вид $z(t)=A\sin (\omega t-\varphi )$, где A>0 и $0\le \varphi \le \pi$. Получите выражения для амплитуды A и тангенса фазы tan _Ф_ через параметры $F_0,m,\omega ,{\omega }_0,b$. Найдите значения амплитуды A и фазы _Ф_ на резонансной частоте $\omega ={\omega }_0$.

(b) [1 балл] Электронное устройство, показанное на рис. 3.1, перемножает входной сигнал и опорный сигнал $V_R=V_{R0}\sin \omega t$, и выделяет в качестве выходного сигнала только постоянную составляющую произведения обоих сигналов. Допустим, входной сигнал задаётся формулой $V_i=V_{i0}sin({\omega }_{i}t-\varphi )$, где $V_{R0},V_{i0},{\omega }_i,$ и $\varphi$ являются заданными положительными константами. Найдите условие для w (>0), при котором на выходе появляется отличный от нуля сигнал. Получите выражение для величины выходного сигнала (постоянной составляющей произведения) на заданной частоте $\omega$.

(c) [1.5 балла] Пройдя через фазовращатель, опорный сигнал, напряжение которого зависит от времени по закону $V_R=V_{R0}\sin \omega t$, приобретает вид $V{\text{'}}_R=V_{R0}\sin (\omega t+\pi /2)$. Это напряжение $V{\text{'}}_R$ подаётся на пьезоэлемент, который создаёт силу $F=c_{1}V{\text{'}}_R$, приложенную к датчику. Затем фотодетектор преобразует смещение датчика _z_ в напряжение $V_i=c_{2}z$. В этих соотношениях $c_1$ и $c_2$ - известные константы, $V_i$ - входной сигнал. Получите выражение для постоянной составляющей выходного сигнала при частоте опорного сигнала $\omega ={\omega }_0$.

(d) [2 балла] Малое изменение массы датчика $\mathrm{\Delta }m$ приводит к сдвигу его резонансной частоты на величину $\mathrm{\Delta }{\omega }_0$, в результатае чего фаза входного сигнала _Ф_ на первоначальной резонансной частоте ${\omega }_0$ испытывает сдвиг на величину $\mathrm{\Delta }\varphi$. Найдите изменение массы датчика $\mathrm{\Delta }m$, при котором сдвиг фазы оказывается равным $\mathrm{\Delta }\varphi =\pi /1800$, что типично для фазовых измерений. Значения физических параметров датчика следующие: $m=1.010^{-12}$ кг, $k=1,0H{/}_M(b/m)=1.0\times 10^3{c}^{-1}.$ Используйте следующие приближенные формулы:

$(1+x{)}^a\approx 1+ax$ и $\tan (\pi /2+x)\approx -1/x$ при $(\left|x\right|<<1).$

ЧАСТЬ B

Далее рассмотрите поведение устройства, включая все силы, действующие на датчик, описанные в части А, а также дополнительную силу со стороны образца ( рис. 3.1), рассмотренную ниже.

(e) [1.5 балла] Считайте, что дополнительная сила $f(h)$, действующая на датчик со стороны поверхности образца, зависит только от расстояния $h$ между концом датчика и поверхностью образца. Зная эту силу, можно найти новое положение равновесия датчика $h_0$. Вблизи этого положения $h_0$ можно приблизительно записать $f(h)\approx f(h_0)+c_3(h-h_0)$, где $c_3$ – коэффициент, не зависящий от $h$. Найдите новую резонансную частоту колебаний датчика ${\omega }_0^{!}$ и выразите её через величины ${\omega }_0,m,c_3$.

(f) [2.5 балла] Остриё датчика, несущее электрический заряд $Q=6e$, движется горизонтально над поверхностью и проходит над электроном с зарядом $q=e$, расположенным (локализованным в пространстве) на некотором расстоянии под поверхностью образца. В ходе сканирования вблизи электрона максимальный сдвиг резонансной частоты $(={\omega }_0^{\text{'}}-{\omega }_0)$ оказывается значительно меньше ${\omega }_0$. Получите выражение для расстояния $d_0$ от острия датчика до локализованного электрона, при котором сдвиг частоты будет максимальным. Выразите это расстояние через параметры $m,q,Q,{\omega }_0,\mathrm{\Delta }{\omega }_0$ и постоянную закона Кулона $k_e$. Рассчитайте расстояние $d_0$ в нанометрах (1 нм = 1x10^-9 м) для сдвига частоты $\mathrm{\Delta }\omega =20c^{-1}$. Параметры датчика следующие: $m=1.0\cdot 10^{-12}$ кг, $k=1.0$ Н/м. Любыми поляризационными эффектами как для датчика, так и для образца следует пренебречь. Физические постоянные равны $k_e=1/4\pi {\epsilon }_0=9.0\cdot 10^9$ H x м²/Кл², $e=-1.6\cdot 10^{-19}$ Кл.

Ответы к задаче Атомный зондирующий микроскоп

Часть А

(a) $z(t)=A\sin \left(\omega t-\phi \right)$

$\frac{dz}{dt}=A\omega \cos \left(\omega t-\phi \right);\frac{d^{2}z}{d{t}^2}=-A{\omega }^2\sin \left(\omega t-\phi \right)$

С учётом $\sin \left(\omega t-\phi \right)=\sin \omega t\cdot \cos \phi -\cos \omega t\cdot \sin \phi ;\cos \left(\omega t-\phi \right)=\cos \omega t\cdot \cos \phi +\sin \omega t\cdot \sin \phi$

$\begin{array}{c}\left(-m{\omega }^{2}A\cos \phi +bA\omega \sin \phi +kA\cos \phi \right)\sin \omega t+\\ +\left(m{\omega }^{2}A\sin \phi +bA\omega \cos \phi -kA\sin \phi \right)\cos \omega t=F_0\sin \omega t\end{array}$

$\{\begin{array}{c}{\text{'}}^{″}20c-m{\omega }^{2}A\cos \phi +bA\omega \sin \phi +kA\cos \phi =F_0\\ m{\omega }^{2}A\sin \phi +bA\omega \cos \phi -kA\sin \phi =0\end{array}$

Т.к. $k=m{\omega }_0^2$, то Шаблон:Рамка $tg\phi =\frac{b\omega }{m\left({\omega }_0^2-{\omega }^2\right)}$ Шаблон:Акмар и Шаблон:Рамка $A=\frac{F_0}{\sqrt{b^2{\omega }^2+m^2{\left({\omega }_0^2-{\omega }^2\right)}^2}}$. Шаблон:Акмар При $\omega ={\omega }_0$ : Шаблон:Рамка $\phi =\frac{\pi }{2}$ Шаблон:Акмар и Шаблон:Рамка $A=\frac{F_0}{b{\omega }_0}$. Шаблон:Акмар

(b) $V_i{V}_R=V_{i0}{V}_{R0}\sin \left({\omega }_{i}t-{\phi }_i\right)\sin \omega t=\frac{V_{i0}{V}_{R0}}{2}\left[\cos \left(\left(\omega -{\omega }_i\right)t+{\phi }_i\right)-\cos \left(\left(\omega +{\omega }_i\right)t-{\phi }_i\right)\right]$

Постоянная составляющая сигнала будет отлична от нуля только при Шаблон:Рамка $\omega ={\omega }_i$ Шаблон:Акмар и будет равна Шаблон:Рамка $\frac{1}{2}{V}_{i0}{V}_{R0}\cos {\phi }_i$. Шаблон:Акмар

(c) Используем результаты, полученные в пункте (a) для A и $\phi$ при $\omega ={\omega }_0$. Учтём также, что $F=c_{1}V{\text{'}}_R=c_1{V}_{R0}\sin \left(\omega t+\frac{\pi }{2}\right)$. Получим выражение для $V_i(t)$: $V_i=c_{2}z=c_{2}A\sin (wt+\frac{\pi }{2}-\phi )=c_2\frac{F_0}{b{\omega }_0}\sin (\omega t+\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{2})=\frac{c_2{c}_1{V}_{R0}}{b{\omega }_0}\sin \omega t$

Откуда $V_{i0}=\frac{c_1{c}_2{V}_{R0}}{b{\omega }_0}$ и ${\phi }_i=0$. Т.к. $\omega ={\omega }_i={\omega }_0$, то постоянная составляющая сигнала Шаблон:Рамка $\frac{c_1{c}_2}{2}\frac{V_{R0}^2}{b{\omega }_0}$. Шаблон:Акмар

(d) Резонансная частота ${\omega }_0=\sqrt{\frac{k}{m}}$. При малом изменении массы датчика на $\mathrm{\Delta }m$ резонансная частота сдвинется на $\mathrm{\Delta }{\omega }_0=-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{m}\sqrt{\frac{k}{m}}\cdot \mathrm{\Delta }m=-\frac{1}{2}\frac{{\omega }_0}{m}\mathrm{\Delta }m$.

$\begin{array}{c}tg\phi =tg\left(\frac{\pi }{2}+\mathrm{\Delta }\phi \right)=\frac{b\omega }{m\left({\omega }_0^2-{\omega }^2\right)}=\frac{b\omega }{m\left({\omega }_0+\omega \right)\left({\omega }_0-\omega \right)}=\\ =\frac{b}{2m\mathrm{\Delta }{\omega }_0}\approx -\frac{1}{\mathrm{\Delta }\phi }\Rightarrow \mathrm{\Delta }\phi =-\frac{2m\mathrm{\Delta }{\omega }_0}{b}=\frac{{\omega }_0\mathrm{\Delta }m}{b}.\end{array}$

Шаблон:Рамка $\mathrm{\Delta }m=\frac{b\mathrm{\Delta }\phi }{{\omega }_0}=$$\left(\frac{b}{m}\right)\left(\frac{m}{\sqrt{k/m}}\right)\mathrm{\Delta }\phi \approx 1.75\cdot 10^{-18}$ кг. Шаблон:Акмар

Часть B

(e) Файл:Chastb.jpg

$f\left(h\right)\approx f\left(h_0\right)+c_3\left(h-h_0\right)=f\left(h_0\right)+c_{3}z$.

Теперь уравнение колебаний датчика записывается так: $m\frac{d^{2}z}{d{t}^2}+b\frac{dz}{dt}+kz=F_0\sin \omega t+f\left(h_0\right)+c_{3}z$

Появление постоянной силы $f(h_0)$ приводит только к смещению положения равновесия. А слагаемое $c_{3}z$ можно учесть, введя новый коэффициент упругости $k^{\prime }=\left(k-c_3\right)$. Тогда новая резонансная частота колебаний датчика Шаблон:Рамка $\omega {\text{'}}_0=\sqrt{\frac{k^{\prime }}{m}}=\sqrt{{\omega }_0^2-\frac{c_3}{m}}$. Шаблон:Акмар

(f) Сила взаимодействия датчика с электроном $f=k_e\frac{qQ}{r^2}$, где r – расстояние между датчиком и электроном. Сдвиг частоты будет максимальным, когда датчик проходит над электроном. В этом случае сила f направлена, как показано на рисунке 3.2. При небольшом смещении датчика в направлении оси z от положения равновесия приращение силы $\mathrm{\Delta }f=-2k_e\frac{qQ}{r^3}\mathrm{\Delta }r=c_{3}z$. Так как $\mathrm{\Delta }r=z$, а $r=d_0$, то $c_3=-2k_e\frac{qQ}{d_0^3}$.

$\mathrm{\Delta }{\omega }_0=\omega {\text{'}}_0-{\omega }_0={\omega }_0\left(\sqrt{1-\frac{c_3}{m{\omega }_0^2}}-1\right)\approx -\frac{1}{2}\frac{c_3}{m{\omega }_0^{}}=k_e\frac{qQ}{m{\omega }_0^{}{d}_0^3}$.

Шаблон:Рамка $d_0=\sqrt[3]{\frac{k_{e}qQ}{m{\omega }_0\mathrm{\Delta }{\omega }_0}}\approx 41$ нм. Шаблон:Акмар