Теория функций действительного переменного/Непрерывные отображения метрического пространства

Непрерывная функция мало меняется при малом изменении аргумента. Легко понять, что это важнейшее для приложений математики свойство. Допустим, что зависимость какого-то технического устройства от характеристик его составных частей не является непрерывной. Это означало бы, что малейшая погрешность при изготовлении детали может привести к полной неработоспособности всего устройства.

Для отображений произвольных метрических пространств также можно ввести понятие непрерывности.

Непрерывность в точке

Пусть даны два метрические пространства R = (X, ρ_X) и R' = (Y, ρ_Y), подмножество $A\subset X$ и отображение $f:A\to Y$.

Непрерывность отображения метрического пространства можно определить несколькими способами. Данное определение обобщает известное определение непрерывной функции из математического анализа.

Определение 1.  Отображение f называется непрерывным в точке $a\in A$, если для любого вещественно числа $ϵ>0$ существует такое вещественное число $\delta >0$, что для любой точки $x\in A$ из неравенства

${\rho }_X(x,a)<\delta$

следует неравенство

${\rho }_Y(f(x),f(a))<ϵ$.

Нестрого говоря, отображение называется непрерывным, если оно переводит близкие точки в близкие (близость определяется метрикой соответствующих пространств).

Определение 2 (по Коши).  Отображение f называется непрерывным в точке $a$, если для любого вещественно числа $ϵ>0$ существует такое вещественное число $\delta >0$, что из

$x\in A\cap B(a,\delta )$

следует

$f(x)\in B(f(a),ϵ)$.

Определение 3 (по Гейне).  Отображение f называется непрерывным в точке $a\in A$, если для любой последовательности $\{x_n\}$ точек множества $A$ сходящейся к точке $a\in A$:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n=a$,

имеет место равенство

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(x_n)=f(a)$.

Можно доказать, что все три эти определения эквивалентны.

Эквивалентность определений непрерывности

Рассмотрим определение непрерывного отображения по Коши. Если

$x\in A\cap B(a,\delta )$,

то по определению пересечения множества

$x\in A,x\in B(a,\delta )$,

по определению открытого шара в этом случае

${\rho }_X(x,a)<\delta$.

Аналогично

$f(x)\in B(f(a),ϵ)\iff {\rho }_Y(f(x),f(a))<ϵ$.

Таким образом, определение по Коши эквивалентно определению 1.

Теперь рассмотрим определение по Гейне. Если последовательность $\{x_n\}$ сходится к $a\in A$, то для любого вещественного числа $\delta >0$ существует такой номер $n_{\delta }>0$, что

$n>n_{\delta }\Rightarrow {\rho }_X(x_n,a)<\delta$.

Аналогично, если

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(x_n)=f(a)$,

то для любого вещественного числа $ϵ>0$ существует такой номер $n_{ϵ}>0$, что

$n>n_{ϵ}\Rightarrow {\rho }_Y(f(x_n),f(a))<ϵ$.

Если выбрать из $n_{ϵ}$ и $n_{\delta }$ наибольшее

$n_0=\max (n_{ϵ},n_{\delta })$,

то при $n>n_0$ будут выполняться оба условия. Последовательность $\{x_n\}$ можно взять произвольно, значит для любого $x\in A$ такого, что

${\rho }_X(x,a)<\delta$

будет выполняться неравенство

${\rho }_Y(f(x),f(a))<ϵ$.

Непрерывность и равномерная непрерывность на множестве

Отображение f называется непрерывным на множестве A, если оно непрерывно в каждой точке этого множества, то есть

$(\mathrm{\forall }a\in A)(\mathrm{\forall }ϵ>0)(\mathrm{\exists }\delta >0)(\mathrm{\forall }x\in A){\rho }_X(x,a)<\delta \Rightarrow {\rho }_Y(f(x),f(a))<ϵ$

Отображение f называется равномерно-непрерывным на множестве A, если

$(\mathrm{\forall }ϵ>0)(\mathrm{\exists }\delta >0)(\mathrm{\forall }{x}_1,x_2\in A){\rho }_X(x_1,x_2)<\delta \Rightarrow {\rho }_Y(f(x_1),f(x_2))<ϵ$.

Теорема 1. Если отображение f равномерно-непрерывно на множестве A, то оно и непрерывно на этом множестве.

Доказательство. Чтобы доказать теорему, покажем, что равномерно-непрерывное отображение f непрерывно для любого элемента из A. Возьмём произвольный элемент $a\in A$, зафиксируем его и положим x₂=a в определении равномерно-непрерывного отображения:

$(\mathrm{\forall }ϵ>0)(\mathrm{\exists }\delta >0)(\mathrm{\forall }{x}_1\in A){\rho }_X(x_1,a)<\delta \Rightarrow {\rho }_Y(f(x_1),f(a))<ϵ$,

а это обозначает, что отображение непрерывно в $a$, а так как элемент $a$ был выбран произвольно, то f — непрерывно на всём множестве A.

Изометрические пространства

Если отображение $f:X\to Y$ взаимно-однозначно, то существует обратное отображение $f^{-1}:Y\to X$. Если отображение f — взаимно-однозначно и взаимно-непрерывно (то есть непрерывно как f, так и $f^{-1}$), то оно называется гомеоморфным отображением или гомеоморфизмом, а пространства (X, ρ_X) и (Y, ρ_Y), между которыми можно установить гомеоморфизм, называются гомеоморфными между собой.

Взаимно-однозначное отображение

$f:R\to R^{\prime }$

называется изометрией, если для любых двух точек $\mathrm{\forall }{x}_1,x_2\in R$ имеет место равенство

${\rho }_X(x_1,x_2)={\rho }_Y(f(x_1),f(x_2))$,

то есть если это отображение сохраняет значение метрики. Пространства R и R', между которыми можно установить изометрическое соответствие, называются изометричными.

Изометрия пространств означает, что с точки зрения теории метрических пространств эти пространства можно рассматривать просто как тождественные.

Дополнения

Аналогичным образом можно ввести понятие непрерывной функции от нескольких переменных $x_1\in X_1,...,x_n\in X_n$, где $X_1,...,X_2$ — метрические пространства, со значениями в метрическом пространстве (Y, ρ_Y).

Замечание. Сама метрика является непрерывным отображением от двух переменных на множество действительных чисел. Это следует из свойства 4 сходящихся последовательностей.