Теория функций действительного переменного/Полные метрические пространства

Определение и примеры

Метрическое пространство (M, ρ) называется полным, если любая его фундаментальная последовательность сходится к элементу этого пространства.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Рассмотрим множество вещественных чисел с «естественной» метрикой $\rho (x,y)=|x-y|$, то есть метрическое пространство

$(ℝ,\rho )$.

Если $\{x_n\}$ — фундаментальная последовательность элементов пространства $(ℝ,\rho )$, то

$(\mathrm{\forall }ϵ>0)(\mathrm{\exists }{n}_0\in \mathbb{N})(\mathrm{\forall }m>n_0)(\mathrm{\forall }n>n_0)|x_n-x_m|<ϵ$.

В силу критерия Коши сходимости числовой последовательности последовательность $\{x_n\}$ сходится, а следовательно $(ℝ,\rho )$ — полное метрическое пространство.

Пример 2. Пусть M = (0; 1), ρ(x, y)=|x-y|. Рассмотрим последовательность

$\left\{\frac{1}{n+1}\right\}$

элементов множества $M\subset ℝ$. Так как

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{n+1}=0$,

то последовательность

$\left\{\frac{1}{n+1}\right\}$

сходится и (согласно свойству 1 фундаментальных последовательностей) является фундаментальной. Но $0\notin M$, поэтому пространство (M, ρ) — не является полным метрическим пространством. Причина этого заключается в том, что интервал $(0;1)$ — незамкнутый.

Замечание. Последовательность

$\left\{\frac{1}{n+1}\right\}$ 

является примером фундаментальной последовательности элементов множества M, которая не сходится в M.

Пример 3. Пусть $M=\mathbb{Q}$, ρ(x, y)=|x — y|. Рассмотрим следующую последовательность

$\left\{{(1+\frac{1}{n})}^n\right\}$

рациональных чисел.

Как известно из математического анализа:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{1}{n})}^n=e\notin \mathbb{Q}$.

Таким образом, в метрическом пространстве (Q, ρ) существуют фундаментальные послеовательности, которые не сходятся к элементам $\mathbb{Q}$, следовательно, (Q, ρ) не является полным метрическим пространством.

Пример 4. Рассмотрим n-мерное евклидово пространство ${ℝ}^n$ с метрикой

$\rho =\sqrt{\sum _{i=1}^n(x_i-y_i{)}^2}$.

Покажем, что метрическое пространство $({ℝ}^n,\rho )$ — полное.

Рассмотрим фунментальную последовательность

$\{x^{(k)}\}$

(здесь номера членов последовательности обозначены индексом в скобках наверху). По определению фундаментальной последовательности,

$(\mathrm{\forall }ϵ>0)(\mathrm{\exists }{n}_0\in \mathbb{N})(\mathrm{\forall }k,m>n_0)$

выполняется неравенство

$\sqrt{\sum _{i=1}^n{(x_i^{(k)}-x_i^{(m)})}^2}<ϵ$.

Пример 5. Покажем, что метрическое пространство непрерывных на отрезке $[a,b]$ функций $C[a,b]$ с метрикой

$\rho (f,g)=\underset{x\in [a,b]}{\max }|f(x)-g(x)|$

является полным.

Рассмотрим фундаментальную последовательность непрерывных функций $\{x_n\}$, тогда для любого вещественного числа $ϵ>0$ существует такой номер $n_0$ что при $n,m>n_0$ для любого $t\in [a;b]$ выполняется неравенство

$|x_n(t)-x_m(t)|<ϵ$,

это означает, что последовательность $\{x_n(t)\}$ сходится равномерно, а так как предел равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций есть непрерывная функция

$x(t)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n(t)$

Если в неравенстве

$|x_n(t)-x_m(t)|<ϵ$,

перейти к пределу при $m\to \mathrm{\infty }$, то оно перейдёт в неравенство

$|x_n(t)-x(t)|<ϵ$

справедливое для всех $n>n_0$ и любого $t\in [a;b]$, а значит $\rho (x,x_n)<ϵ$, таким образом последовательность $\{x_n(t)\}$ к $x(t)$ в метрике пространства $C[a;b]$.

Пример 6. Покажем что пространство непрерывных функций $C_2[-1;1]$ не является полным. Рассмотрим последовательность непрерывных функций вида

$g_n(t)=\{\begin{array}{cc}-1,& -1\le t\le -\frac{1}{n}\\ t,& -\frac{1}{n}\le t\le \frac{1}{n}\\ 1,& \frac{1}{n}\le t\le 1\end{array}$.

Последовательность $\{g_n\}$ является фундаментальной. Действительно, рассмотрим две функции $g_n$ и $g_m$, они отличаются друг от друга лишь на отрезке ширины

$\frac{2}{\min (n,m)}$,

причём абсолютная величина различия не превышает 1, следовательно

$\rho (g_n,g_m{)}^2=\underset{-1}{\overset{1}{\int }}(g_n(t)-g_m(t){)}^{2}dt\le \frac{2}{\min (n,m)}$.

Однако последовательность $\{g_n\}$ не сходится ни к одной непрерывной функции из $C_2[0;1]$. Для доказательства этого факта рассмотрим произвольную функцию $f\in C_2[-1;1]$ и разрывную функцию

$g(t)=\{\begin{array}{cc}-1,& -1\le t\le 0\\ 1,& 0<t\le 1\end{array}$.

В силу интегрального неравенства Минковского (это неравенство справедливо и для кусочно-непрерывных функций):

$\sqrt{\underset{-1}{\overset{1}{\int }}[f(t)-g(t){]}^{2}dt}\le \sqrt{\underset{-1}{\overset{1}{\int }}[f(t)-g_n(t){]}^{2}dt}+\sqrt{\underset{-1}{\overset{1}{\int }}[g_n(t)-g(t){]}^{2}dt}$.

Так как $f$ — непрерывная функция, а $g$ имеет разрыв, то

$\underset{-1}{\overset{1}{\int }}[f(t)-g(t){]}^{2}dt>0$.

С другой стороны:

$\underset{-1}{\overset{1}{\int }}[g_n(t)-g(t){]}^{2}dt\le \frac{2}{n}$

и следовательно

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{-1}{\overset{1}{\int }}[g_n(t)-g(t){]}^{2}dt=0$.

Таким образом:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sqrt{\underset{-1}{\overset{1}{\int }}[f(t)-g_n(t){]}^{2}dt}\ge \sqrt{\underset{-1}{\overset{1}{\int }}[f(t)-g(t){]}^{2}dt}>0$.

Теоремы о полных пространствах

Теорема 1. Пусть (M, ρ) — полное метрическое пространство и $F\subset M$. Метрическое пространство (F, ρ) является полным тогда и только тогда, когда $[F]=F$ (F — замкнутое.)

Теорема 2 (о вложенных шарах). Для того, чтобы метрическое пространство было полным необходимо и достаточно, чтобы в нём всякая последовательность вложенных друг в друга замкнутых шаров, радиусы которых стремятся к нулю, имела непустое пересечение.

Необходимость.

Рассмотрим полное метрическое пространство $R$ и последовательность $\{B_n\}$ вложенных друг в друга замкнутых шаров с центрами $\{x_n\}$ и радиусами $r_n$:

$B_n=B[x_n,r_n]$.

Последовательность центров $x_n$ является фундаментальной, так как

$\rho (x_n,x_m)<r_n$,

и

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{r}_n=0$.

Так как пространство $R$ является полным, то последовательность $\{x_n\}$ сходится и

$x=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n\in R$.

Шар $B_n$ содержит все точки последовательность $\{x_n\}$ кроме, быть может, точек $x_1,...,x_{n-1}$, а следовательно $x$ — точка прикосновения любого из шаров $B_n$, так как шары предполагаются замкнутыми, отсюда следует, что

$\mathrm{\forall }n:x\in B_n$.

По определению пересечения множеств

$x\in \bigcap _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{B}_n$.

Таким образом, пересечение шаров $B_1,...,B_n,...$ действительно не является пустым множеством.

Достаточность.

Пусть $\{x_n\}$ — фундаментальная последовательность, тогда можно указать такой номер $n_1$, что для $n>n_1$ будет выполняться неравенство

$\rho (x_{n_1},x_n)<\frac{1}{2}$.

Обозначим

$B_1=B[x_{n_1},1]$.

Следующий номер $n_2>n_1$ выберем таким образом, чтобы при $n>n_2$ выполнялось неравенство

$\rho (x_{n_2},x_n)<\frac{1}{4}$.

Обозначим

$B_2=B[x_{n_2},2^{-1}]$.

Пусть мы уже выбрали номера

$n_1<n_2<...<n_k$.

Номер $n_{k+1}>n_k$ выберем так, чтобы при $n>n_{k+1}$ выполнялось неравенство

$\rho (x,x_{n_{k+1}})<\frac{1}{2^k}$,

обозначим

$B_{k+1}=B[x_{n_{k+1}},2^{-k}]$.

Продолжая этот процесс, мы получим последовательность замкнутых вложенных шаров, по предположению теоремы эта последовательность имеет общую точку, обозначим эту точку как $x$. Очевидно, что эта точка служит пределом последовательности $\{x_{n_k}\}$. Фундаментальная последовательность, содержащая сходящуюся подпоследовательность, сходится к тому же пределу, следовательно

$x=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n$.

Так как последовательность взята произвольно, то метрическое пространство $R$ является полным.

Теорема 3 (Бэр). Полное метрическое пространство $R$ не может быть представлено в виде объединения счётного числа нигде не плотных множеств.

Доказательство проведём от противного.

Пусть

$R=\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{M}_n$,

причём каждое из множеств $M_n$ нигде не плотно. Рассмотрим некоторый замкнутый шар $B_0$ радиуса 1, так как множество $M_1$ нигде не плотно, то оно не плотно и в шаре $B_0$, то есть существует шар $B_1\subset B_0$, радиус которого меньше $1/2$, такой, что

$B_1\cap M_1=\varnothing$.

Множество $M_2$ не плотно в шаре $B_1$, значит существует шар $B_2\subset B_1$, радиус которого меньше $1/3$, для которого

$B_2\cap M_2=\varnothing$,

и так далее. Таким образом можно получить последовательность вложенных друг в друга замкнутых шаров

$\{B_n\}$,

радиусы которых стремятся к нулю, причём

$B_n\cap M_n=\varnothing$.

По теореме о вложенных шарах пересечение

$B=\bigcap _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{B}_n$

содержит некоторую точку $x\in R$, которая не принадлежит ни одному из $M_n$, так как

$\mathrm{\forall }n:B_n\cap M_n=\varnothing$,

а значит точка $x$ не принадлежит и объединению всех $M_n$

$x\notin \bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{M}_n$,

то есть

$R\ne \bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{M}_n$,

что противоречит исходному предположению. Теорема доказана.

Пополнение метрического пространства

Полнота пространства является очень важным с точки зрения анализа свойством, так как в неполных пространствах не все фундаментальные последовательности имеют предел. Возникает вопрос: можно ли расширить неполное пространство таким образом, чтобы оно стало полным. Оказывается, что это всегда можно сделать, причём такое расширение является, по-существу, единственным.

Напомним, что множество

$A\subset M$

называется всюду плотным в M, если имеет место равенство

$\left[A\right]=M$.

Например, множество рациональных чисел $\mathbb{Q}$ является плотным в множестве всех действительных чисел $ℝ$, так как

$[\mathbb{Q}]=ℝ$.

Пусть (M, ρ) — полное метрическое пространство и $X\subset M$. (M, ρ) называется пополнением метрического пространства (X, ρ), если

$\left[X\right]=M$.

Например, $(ℝ,\rho )$ — пополнение метрического пространства $(\mathbb{Q},\rho )$.

Справедлива следующая теорема:

Теорема 4. Любое метрическое пространство $R$ имеет пополнение, причём единственно с точностью до изометрии.

Существование.

Назовём две фундаментальные последовательности $\{x_n\}$ и $\{y_n\}$ элементов пространства $R$ эквивалентными, если

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\rho (x_n,y_n)=0$.

Обозначать факт эквивалентности двух последовательностей будем следующим образом:

$\{x_n\}\sim \{y_n\}$.

Используя аксиомы метрики, можно показать, что введённое нами отношение эквивалентности двух последовательностей является рефлексивным, симметричным и транзитивным.

Таким образом, все фундаментальные последовательности точек метрического пространства $R$ распадаются на классы эквивалентных друг другу последовательностей.

Рассмотрим пространство $R^{\prime }$, элементами которого являются классы эквивалентных последовательностей. Метрика в нём может быть определена следующим образом. Пусть ${\eta }_1$ и ${\eta }_2$ — два класса эквивалентности. Выберем в каждом из них по одной фундаментальной последовательности

$\{x_n\}\in {\eta }_1,\{y_n\}\in {\eta }_2$

и положим

${\rho }^{\prime }({\eta }_1,{\eta }_2)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\rho (x_n,y_n)$.

Для того, чтобы функцию ${\rho }^{\prime }$ можно было считать метрикой в пространстве $R^{\prime }$, нужно доказать, что данный предел существует и не зависит от выбора последовательностей, кроме того, должны выполняться аксиомы метрики.

В силу неравенства четырёхугольника:

$|\rho (x_n,y_n)-\rho (x_m,y_m)|\le \rho (x_n,x_m)+\rho (y_n,y_m)$.

Так как последовательности $\{x_n\}$ и $\{y_n\}$ являются фундаментальными, то можно указать такое натуральное число $n_0$, что при $n,m>n_0$ выполняется неравенство

$|\rho (x_n,y_n)-\rho (x_m,y_m)|\le ϵ$.

Таким образом, последовательность вещественных чисел $\rho (x_n,y_n)$ имеет предел в силу критерия Коши. Докажем, что данный предел не зависит от выбора последовательностей. Пусть

$\{x_n\},\{x{\text{'}}_n\}\in {\eta }_1$

$\{y_n\},\{y{\text{'}}_n\}\in {\eta }_2$.

По неравенству четырёхугольника

$|\rho (x_n,y_n)-\rho (x{\text{'}}_n,y{\text{'}}_n)|\le \rho (x_n,x{\text{'}}_n)+\rho (y_n,y{\text{'}}_n)$.

А так как

$\{x_n\}\sim \{x{\text{'}}_n\},\{y_n\}\sim \{y{\text{'}}_n\}$,

то по введённому определению эквивалентности

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }|\rho (x_n,y_n)-\rho (x{\text{'}}_n,y{\text{'}}_n)|\le \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\rho (x_n,x{\text{'}}_n)+\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\rho (y_n,y{\text{'}}_n)=0$,

то есть

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\rho (x_n,y_n)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\rho (x{\text{'}}_n,y{\text{'}}_n)$.

Таким образом, значение предела действительно не зависит от выбора последовательности.

Проверим теперь, выполняются ли аксиомы метрики для функции ${\rho }^{\prime }$. Аксиомы тождества и симметрии следуют непосредственно из введённого определения эквивалентности.

Для доказательства аксиомы треугольника рассмотрим три класса эквивалентности

${\eta }_1,{\eta }_2,{\eta }_3\in R^{\prime }$.

Выберем в каждом из этих классов по одной последовательности

$\{x_n\}\in {\eta }_1,\{y_n\}\in {\eta }_2,\{z_n\}\in {\eta }_3$.

Так как исходное пространство $R$ является метрическим, то

$\rho (x_n,y_n)\le \rho (x_n,z_n)+\rho (z_n,y_n)$.

Переходя в этом неравенстве к пределу, получим

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\rho (x_n,y_n)\le \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\rho (x_n,z_n)+\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\rho (z_n,y_n)$,

то есть, по определению функции ${\rho }^{\prime }$:

${\rho }^{\prime }({\eta }_1,{\eta }_2)\le {\rho }^{\prime }({\eta }_1,{\eta }_3)+{\rho }^{\prime }({\eta }_3,{\eta }_2)$.

Теперь докажем, что $R$ можно рассматривать как подпространство пространства $R^{\prime }$. Каждой точке $x\in R$ можно поставить в соответствие класс эквивалентности

$\eta (x)\in R^{\prime }$, представляющий собой множество последовательностей, сходящихся к точке $x$.

Данный класс содержит по меньшей мере один элемент — стационарную последовательность, все элементы которой равны $x$. Если

$x=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n,y=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{y}_n$,

то по определению ${\rho }^{\prime }$ и в силу непрерывности метрики

${\rho }^{\prime }(\eta (x),\eta (y))=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\rho (x_n,y_n)=\rho (x,y)$,

таким образом, существует изометрическое отображение элементов пространства $R$ в $R^{\prime }$. Так как с точки зрения теории метрических пространств изометричные пространства не различаются, то можно не различать пространство $R$ и его образ в $R^{\prime }$.

Докажем, что $R$ всюду плотно в $R^{\prime }$. Пусть дана произвольная точка $\eta \in R^{\prime }$ и вещественное число $ϵ>0$. Выберем произвольную фундаментальную последовательность

$\{x_n\}\in \eta$.

Можно указать такой номер $n_0$, что при $n,n>n_0$ будет выполняться неравенство

$\rho (x_n,x_m)<ϵ$.

Тогда при $n>n_0$ будем иметь

${\rho }^{\prime }(\eta (x_n),\eta )=\underset{m\to \mathrm{\infty }}{\lim }\rho (x_n,x_m)\le ϵ$.

Таким образом в любой окрестности произвольной точки $\eta \in R^{\prime }$ содержится точка из $R$, то есть

$\left[R\right]=R^{\prime }$.

Докажем наконец, что пространство $R^{\prime }$ является полным. По построению, любая последовательность точек $\{x_n\}$ сходится к некоторой точке пространства $R^{\prime }$. Пусть дана последовательность $\{{\eta }_n\}$ точек пространства $R^{\prime }$. Из точек пространства $R$ можно построить последовательность эквивалентных, для этого достаточно в качестве $x_n$ взять такую точку, чтобы выполнялось неравенство

${\rho }^{\prime }(\eta (x_n),{\eta }_n)<\frac{1}{n}$.

Построенная таким образом последовательность будет фундаментальной в $R$, а значит будет сходится к некоторому классу $\eta \in R^{\prime }$, а так как последовательности $\{\eta (x_n)\}$ и $\{et{a}_n\}$ эквивалентны, то они сходятся к одному пределу.

Единственность.

Пусть $R_1$ и $R_2$ — два пополнения пространства $R$, покажем, чтото между ними можно установить взаимно-однозначное соответствие

$\varphi :R_1\to R_2$

такое, что

$\mathrm{\forall }x\in R\Rightarrow \rho (x)=x$,

$\mathrm{\forall }x,y\in R_1\Rightarrow {\rho }_1(x,y)={\rho }_2(\varphi (x),\varphi (y))$,

где ${\rho }_1$ и ${\rho }_2$ — метрики пространств $R_1$ и $R_2$ соответственно.

Выберем произвольную точку $x^{\prime }\in R_1$. Так как по предположению $R_1$ — пополнение пространства $R$, то существует фундаментальная последовательность $\{x_n\}$, сходящаяся к точке $x^{\prime }$. Но так как $R_2$ тоже является пополнением $R$, то данная последовательность сходится к некоторой точке $x^{″}\in R_2$. Можно доказать, что $x^{″}$ не зависит от выбора последовательности. Если положить

$\varphi (x^{\prime })=x^{″}$,

то получим искомое отображение. Действительно, если $x^{\prime }\in R$, то $x^{″}\in R$. Кроме того, если в пространстве $R_1$

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n=x^{\prime },\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{y}_n=y^{\prime }$,

а в пространстве $R_2$

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n=x^{″},\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{y}_n=y^{″}$,

то в силу непрерывности метрики

${\rho }_1(x^{\prime },y^{\prime })=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\rho }_1(x_n,y_n)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\rho (x_n,y_n)$,

${\rho }_2(x^{″},y^{″})=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\rho }_2(x_n,y_n)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\rho (x_n,y_n)$,

а следовательно

${\rho }_1(x^{\prime },y^{\prime })={\rho }_2(x^{″},y^{″})$.

Теорема доказана.