Теория функций действительного переменного/Применение принципа сжимающихся отображений

В данном разделе приведены примеры применения принципа сжимающих отображений к уравнениям различных видов.

Системы линейных алгебраических уравнений

Рассмотрим отображение A n-мерного арифметического эвклидова пространства в себя

$y_i=\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{x}_j+b_i,i=1,...,n$.

Если данное отображение является сжатием, то для решения уравнения $Ax=x$ можно применить принцип сжимающих отображений. Определим, при каких условиях отображение A будет сжимающим. В рассматриваемом пространстве метрику можно ввести несколькими способами. Рассмотрим три варианта.

Равномерная метрика

$\rho (x,y)=\underset{1\le i\le n}{\max }|x_i-y_i|$. Рассмотрим два вектора: x и x' — преобразование A ставит им в соответствие вектора y и y':

$\rho (y,y^{\prime })=\underset{1\le i\le n}{\max }|y_i-y{\text{'}}_i|=\underset{1\le i\le n}{\max }\left|\sum _{j=1}^n{a}_{ij}(x_j-x{\text{'}}_j)\right|$

Применив аксиому треугольника для модуля, получим:

$\rho (y,y^{\prime })\le \underset{1\le i\le n}{\max }\sum _{j=1}^n\left|a_{ij}\right||x_j-x{\text{'}}_j|$.

Так как

$|x_j-x{\text{'}}_j|\le \underset{1\le i\le n}{\max }|x_j-x{\text{'}}_j|=\rho (x,x^{\prime })$,

то

$\rho (y,y^{\prime })\le \left(\sum _{j=1}^n\left|a_{ij}\right|\right)\rho (x,x^{\prime })$.

Отсюда следует условие сжимаемости:

$\sum _{j=1}^n\left|a_{ij}\right|\le \alpha <1,i=1,...,n$

«Городская метрика»

Пусть теперь метрика задана следующим образом:

$\rho (x,y)=\sum _{i=1}^n|x_i-y_i|$,

тогда

$\rho (y,y^{\prime })=\sum _{i=1}^n|y_i-y{\text{'}}_i|=\sum _{i=1}^n|\sum _{j=1}^n{a}_{ij}(x_j-x{\text{'}}_j)|$.

Применим необходимое число раз аксиому треугольника:

$\rho (y,y^{\prime })\le \sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n\left|a_{ij}\right||x_j-x{\text{'}}_j|=\sum _{j=1}^n\left(|x_j-x{\text{'}}_j|\sum _{i=1}^n\left|a_{ij}\right|\right)$.

Так как

$\sum _{i=1}^n\left|a_{ij}\right|\le \underset{1\le j\le n}{\max }\sum _{i=1}^n\left|a_{ij}\right|$,

то $\rho (y,y^{\prime })\le \underset{1\le j\le n}{\max }\sum _{i=1}^n\left|a_{ij}\right|\sum _{j=1}^n|x_j-x{\text{'}}_j|=\left(\underset{1\le j\le n}{\max }\sum _{i=1}^n\left|a_{ij}\right|\right)\rho (x,x^{\prime })$.

Таким образом, в данном случае, условие сжимаемости имеет вид:

$\underset{1\le j\le n}{\max }\sum _{i=1}^n\left|a_{ij}\right|\le \alpha <1$.

Евклидова метрика

В данном случае метрика задаётся формулой

$\rho (x,y)=\sqrt{\sum _{i=1}^n(x_i-y_i{)}^2}$.

В силу неравенства Коши-Буняковского:

${\rho }^2(y,y^{\prime })=\sum _{i=1}^n{(\sum _{j=1}^n{a}_{ij}(x_j-x{\text{'}}_j))}^2\le \left(\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n{a}_{ij}^2\right){\rho }^2(x,x^{\prime })$.

Следовательно, в данной метрике, условие сжимаемости принимает вид:

$\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n{a}_{ij}^2\le \alpha <1$.

Обыкновенные дифференциальные уравнения и их системы

Задача Коши для одного уравнения

Пусть дано обыкновенное дифференциальное уравнение

$\frac{dy}{dx}=f(x,y)$

и задано начальное условие

$y(x_0)=y_0$,

причём функция $f$ определена и непрерывна в некоторой плоской области $G$, содержащей точку $(x_0,y_0)$, и удовлетворяет в этой области условию Липшица по $y$:

$|f(x,y_1)-f(x,y_2)|\le M|y_1-y_2|$.

Задача решения дифференциального уравнения с начальным условием (задача Коши) эквивалентна задаче решения интегрального уравнения

$\phi (x)=y_0+\underset{x_0}{\overset{x}{\int }}f(t,\phi (t))dt$.

Так как функция $f$ непрерывна, то в некоторой плоской области $G^{\prime }\subseteq G,(x_0,y_0)\in G^{\prime }$ будет иметь место

$|f(x,y)|\le K$.

Подберём $d>0$ таким образом, чтобы выполнялись следующие условия:

1. Если $|x-x_0|\le d$ и $|y-y_0|\le Kd$, то $(x,y)\in G^{\prime }$;
2. $Md<1$.

Обозначим пространство всех непрерывных функций $\phi$, определённых на отрезке $|x-x_0|\le d$ и удовлетворяющих условию $|\phi (x)-y_0|\le Kd$, как $C^{*}$ и введём в нём метрику следующим образом

$\rho ({\phi }_1,{\phi }_2)=\underset{|x-x_0|\le d}{\max }|{\phi }_1(x)-{\phi }_2(x)|$.

Данное метрическое пространство полно, так как является замкнутым подпространством полного метрического пространства (пространства всех непрерывных функций, заданных на том же отрезке). Докажем, что отображение $\psi =A\phi$, заданное формулой

$\psi (x)=y_0+\underset{x_0}{\overset{x}{\int }}f(t,\phi (t))dt$,

переводит пространство $C^{*}$ в себя и является сжатием этого пространства. Пусть $\phi \in C^{*}$ и $|x-x_0|\le d$, тогда

$|\psi (x)-y_0|=|\underset{x_0}{\overset{x}{\int }}f(t,\phi (t))dt|\le Kd$,

а значит $A(C^{*})\subseteq C^{*}$. Теперь докажем, что отображение является сжатием, действительно:

$|{\psi }_1-{\psi }_2|\le \underset{x_0}{\overset{x}{\int }}|f(t,{\phi }_1(t))-f(t,{\phi }_2(t))|dt\le Md\underset{|x-x_0|\le d}{\max }|{\phi }_1(x)-{\phi }_2(x)|$.

Так как $Md<1$, то отображение $A$ — является сжатием. Таким образом, задача Коши имеет единственное решение в пространстве $C^{*}$.

Интегральные уравнения второго рода

Уравнения Фредгольма

Уравнение Фредгольма второго рода — это интегральное уравнение вида

$x(t)=\lambda \underset{a}{\overset{b}{\int }}K(t,s)x(s)\mathrm{d}s+f(t)$.

Функции $K(t,s)$ (ядро) и $f(t)$ (правая часть) заданы, $\lambda$ — произвольный параметр, необходимо найти функцию $x$.

Будем считать, что функции $K(t,s)$ (ядро) и $f(t)$ является непрерывными при

$a\le t\le b,a\le s\le b$.

Кроме того, существует такое число $M$, что

$|K(t,s)|\le M$.

Рассмотрим отображение $y=Ax$ полного пространства непрерывных на отрезке $[a;b]$ функций $C[a;b]$ в себя, заданное формулой

$y(t)=\lambda \underset{a}{\overset{b}{\int }}K(t,s)x(s)\mathrm{d}s+f(t)$.

Определим, при каких условиях данное отображение является сжимающим в равномерной метрике

$\rho (x_1,x_2)=\underset{t\in [a;b]}{\max }|x_1(t)-x_2(t)|$.

Рассмотрим две функции $x_1$ и $x_2$ и оценим

$\rho (y_1,y_2)=\rho (A{x}_1,A{x}_2)=\underset{t\in [a;b]}{\max }|\lambda \underset{a}{\overset{b}{\int }}K(t,s)[x_1(s)-x_2(s)\left]\mathrm{d}s\right|$.

По свойствам интеграла:

$\rho (y_1,y_2)\le |\lambda |(b-a)\underset{t\in [a;b]}{\max }\underset{s\in [a;b]}{\max }|K(t,s)[x_1(s)-x_2(s)\left]\right|$.

Так как ядро ограничено числом $M$, то:

$\rho (y_1,y_2)\le |\lambda |(b-a)M\underset{s\in [a;b]}{\max }|x_1(s)-x_2(s)|=|\lambda |(b-a)M\rho (x_1,x_2)$.

Таким образом, отображение $A$ является сжимающим при условии

$|\lambda |\le \frac{1}{(b-a)M}$,

а значит, что при выполнении данного условия последовательность

$x_{n+1}(t)=\lambda \underset{a}{\overset{b}{\int }}K(t,s)x_n(s)\mathrm{d}s+f(t)$

будет сходится к решению уравнения. В качестве начального приближения можно взять произвольную непрерывную функцию $x_0(t)$.

Нелинейные интегральные уравнения

Рассмотрим уравнение вида

$x(t)=\lambda \underset{a}{\overset{b}{\int }}K(t,s,x(s))\mathrm{d}s+f(t)$,

где функции $K$ и $f$ непрерывны, а ядро ещё и удовлетворяет условию Липшица по третьему аргументу, то есть выполняется неравенство

$|K(t,s,y_1)-K(t,s,y_2)|\le M|y_1-y_2|$.

Рассмотрим отображение $A$, заданное формулой

$Ax=\lambda \underset{a}{\overset{b}{\int }}K(t,s,x(s))\mathrm{d}s+f(t)$

Если $x_1$ и $x_2$ — две непрерывные функции и

$y_1=A{x}_1,y_2=A{x}_2$,

то справедлива оценка

$|y_1(t)-y_2(t)|\le |\lambda |(b-a)\underset{s\in [a;b]}{\max }\left|K\right(t,s,x_1(s))-K(t,s,x_2(s)\left)\right|\le |\lambda |(b-a)M\underset{s\in [a;b]}{\max }|x_1(s)-y_2(s)|$,

таким образом

$\rho (A{x}_1,A{x}_2)\le |\lambda |(b-a)M\rho (A{x}_1,A{x}_2)$,

а значит метод последовательных приближений применим при

$|\lambda |<\frac{1}{(b-a)M}$.

Уравнения Вольтерры

Рассмотрим теперь неоднородное интегральное уравнение типа Вольтерра

$x(t)=\lambda \underset{t}{\overset{b}{\int }}K(t,s)f(s)\mathrm{d}s+f(t)$.

Оказывается, что в данном случае, в отличие от случая уравнения Фредгольма, метод последовательных приближений можно использовать при любых значениях параметра $\lambda$.

Как и при рассмотрении линейного уравнению Фредгольма, будем считать, что функции $K(t,s)$ (ядро) и $f(t)$ является непрерывными при

$a\le t\le b,a\le s\le b$,

а $K(t,s)$ ещё и ограниченной, то есть существует такое число $M$, что

$|K(t,s)|\le M$.

Рассмотрим отображение $A$, определённое следующим образом:

$y=Ax=\lambda \underset{t}{\overset{b}{\int }}K(t,s)f(s)\mathrm{d}s+f(t)$.

Введём обозначение

$g_0=A(x_1-x_2)=A{x}_1-A{x}_2$

и рассмотрим последовательность

$g_{n+1}=A{g}_n$.

Рассуждая так же как в случае уравнения Фредгольма, получим оценку:

$|g_1(t)|\le |\lambda |M(t-a)\underset{s\in [a;b]}{\max }|x_1(s)-x_2(s)|$.

Из этой оценки следует

$|g_2(t)|\le |\lambda {|}^2{M}^2\frac{(t-a{)}^2}{2}\underset{s\in [a;b]}{\max }|x_1(s)-x_2(s)|$,

и вообще

$|g_n(t)|\le |\lambda {|}^n{M}^n\frac{(t-a{)}^n}{n!}\underset{s\in [a;b]}{\max }|x_1(s)-x_2(s)|$.

Для любого значения параметра $\lambda$ можно указать, такое целое число $n_0$, что будет выполняться условие

$|\lambda {|}^{n_0}{M}^n\frac{(b-a{)}^{n_0}}{n_0!}$

и, так как $a\le t\le b$, отображение $B=A^{n_0}$ будет сжимающим.

Возьмём некоторую непрерывную функцию $x_0(t)$ и построим последовательность

$\{A^n{x}_0\}$.

Рассмотрим подпоследовательность этой последовательности

$\{A^{k{n}_0}{x}_0\}$,

так как $A^{k{n}_0}{x}_0=B^k{x}_0$, то данная последовательность будет, в силу принципа сжимающих отображений, сходится к решению уравнения, а следовательно к решению уравнению будет сходится и вся последовательность

$\{A^n{x}_0\}$.