Теория функций действительного переменного/Пространства суммируемых функций

Пространство суммируемых функций

Пусть $X$ — некоторое пространство с полной мерой $\mu$. Рассмотрим совокупность всех функций, суммируемых на множестве $X$. Так как сумма двух суммируемых функций и произведение суммируемой функции на число есть суммируемая функция, то эта совокупность является линейным пространством, которое обозначают $L_1(X,\mu )$ или просто $L_1$, когда из контекста понятно о какое пространство и какая мера имеются в виду.

В пространстве $L_1$ можно ввести следующую норму

$\Vert f\Vert =\underset{X}{\int }|f(x)|d\mu$.

Однородность нормы, справедливость аксиомы треугольника и положительность нормы следуют из свойств интеграла Лебега:

$\Vert af\Vert =\underset{X}{\int }|a\cdot f(x)|d\mu =\underset{X}{\int }|a|\cdot |f(x)|d\mu =|a|\underset{X}{\int }|f(x)|d\mu =|a|\Vert f\Vert$,

$\Vert f_1+f_2\Vert =\underset{X}{\int }|f_1(x)+f_2(x)|d\mu \le \underset{X}{\int }|f_1(x)|d\mu +\underset{X}{\int }|f_2(x)|d\mu =\Vert f_1\Vert +\Vert f_2\Vert$.

По определению нормы, норма равна нулю только для нулевого элемента, однако интеграл Лебега равен нулю, если функция равна нулю почти всюду (иными словами: если функция отличается от нуля лишь на множестве меры нуль, то её интеграл Лебега равен нулю). Таким образом, для того, чтобы ввести норму в линейном пространстве $L_1$, нужно принять, что нулевой элемент — это совокупность всех функций, отличающихся от нуля лишь на множестве меры нуль. Это, в свою очередь, приводит к тому, что все эквивалентные друг другу функции нужно считать одним и тем же элементом нормированного пространства.

Так как в качестве элементов рассматриваются классы функций, то необходимо заново определить операции сложения двух элементов и умножения элемента на число.

Пусть даны два класса $F_1$ и $F_2$ эквивалентных друг другу функций. Выберем в каждом классе по одному произвольному элементу-представителю: $f_1$ и $f_2$, соответственно. Суммой $F_1+F_2$ классов $F_1$ и $F_2$ назовём класс функций, эквивалентных функции $f_1+f_2$. Произведением $a\cdot F_1$ класса $F_1$ на число $a$ назовём класс функций, эквивалентных функции $a{f}_1$.

Можно доказать, что определения суммы двух классов и умножения класса на число не зависят от выбора элементов-представителей. Действительно, пусть $g_1$ и $g_2$ два других представителя классов $F_1$ и $F_2$ соответственно. Тогда

$(g_1+g_2)-(f_1+f_2)=(g_1-f_1)+(g_2-f_1)$,

справа стоит сумма двух функций, равных нулю почти всюду (разность функций, принадлежащих одному классу), а значит функции $g_1+g_2$ и $f_1+f_2$ отличаются друг от друга лишь на множестве меры нуль, а значит они принадлежат одному классу. Аналогично можно доказать и независимость определения произведения класса на число от выбора элемента-представителя.

Эти соображения приводят к следующему определению пространства суммируемых функций.

Пространство $L_1$ — это нормированное пространство, элементами которого являются классы эквивалентных между собой суммируемых функций. Сумма двух классов определяется как множество элементов, эквивалентных сумме элементов-представителей классов-слагаемых. Произведение элемента на число определяется как множество элементов, эквивалентных произведению элемента представителя класса на число. А норма в пространстве $L_1$ задаётся формулой

$\Vert f\Vert =\underset{X}{\int }|f(x)|d\mu$.

В пространстве $L_1$ (как и в любом другом нормированном пространстве) можно ввести метрику

$\rho (f,g)=\Vert f-g\Vert$.

Сходимость последовательности суммируемых функций в этой метрике называется сходимостью в среднем.

Теорема 1. Пространство $L_1$ является полным.

Пространство функций с суммируемым квадратом

Пространство $L_1$ является полным нормированным линейным пространством, но не является евклидовым пространством (этот факт можно доказать с использованием характеристического свойства евклидова пространства).

Пространство функций, не только нормированное, но и евклидово, можно построить, если рассмотреть совокупность функций, квадрат которых является суммируемой функцией. При этом, как и в случае пространства $L_1$, эквивалентные друг другу функции не должны различаться.

Функция $f(x)$ называется функцией с интегрируемым квадратом на множестве $X$, если интеграл

$\underset{X}{\int }{f}^2(x)d\mu$

существует и конечен.

Пространство $L_2(X,\mu )$ или кратко $L_2$ — это пространство, элементами которого являются классы эквивалентных между собой функций с интегрируемым квадратом. Сумма двух классов определяется как множество элементов, эквивалентных сумме элементов-представителей классов-слагаемых. Произведение элемента на число определяется как множество элементов, эквивалентных произведению элемента представителя класса на число.

Установим некоторые свойства функций с интегрируемым квадратом.

Свойство 1. Произведение двух функций с интегрируемым квадратом есть интегрируемая функция.

Пусть $f_1$ и $f_2$ - функции с интегрируемым квадратом. Рассмотрим неотрицательное выражение ${(f_1(x)-f_2(x))}^2\ge 0$. Раскроем скобки:

$f_1^2(x)-2f_1(x)f_2(x)+f_2^2(x)\ge 0$,

следовательно

$f_1(x)f_2(x)\le \frac{1}{2}(f_1^2(x)+f_2^2(x))$.

Аналогично, из неравенства ${(f_1(x)+f_2(x))}^2\ge 0$ можно вывести, что

$f_1(x)f_2(x)\ge -\frac{1}{2}(f_1^2(x)+f_2^2(x))$.

Объединим два полученных неравенства:

$|f_1(x)f_2(x)|\le \frac{1}{2}(f_1^2(x)+f_2^2(x))$.

Следовательно, по свойству интеграла Лебега, функция $f_1\cdot f_2$ является интегрируемой.

Свойство 1a. Всякая функция с интегрируемым квадратом является интегрируемой на множестве конечной меры.

Для доказательства нужно применить Свойство 1, положив в нём $f_2(x)\equiv 1$.

Свойство 2. Если $f\in L_2$ и $a$ - произвольное число, то $af\in L_2$. Иными словами, произведение функции с интегрируемым квадратом на число есть снова функции с интегрируемым квадратом. Действительно, если интеграл

$\int \mathrm{\backslash limits}{f}^2(x)d\mu$

существует и конечен, то

$\underset{X}{\int }{[af(x)]}^{2}d\mu =a^2\underset{X}{\int }{f}^2(x)d\mu <\mathrm{\infty }$.

Свойство 3. Если $f_1\in L_2$ и $f_2\in L_2$, то $(f_1+f_2)\in L_2$. Иными словами, сумма двух функций с интегрируемым квадратом есть функция с интегрируемым квадратом.

${(f_1(x)+f_2(x))}^2=f_1^2(x)+2f_1(x)f_2(x)+f_2^2(x)$.

Справа стоит сумма трёх интегрируемых функции (Свойство 1), а значит функция слева также является интегрируемой, то есть квадрат функции $f_1+f_2$ есть суммируемая функция, а значит $f_1+f_2$ - функция с суммируемым квадратом.

Из свойств 2 и 3 следует, что пространство $L_2$ является линейным пространством.

Определим в пространстве $L_2$ скалярное произведение по формуле

$(f,g)=\underset{X}{\int }f(x)g(x)d\mu$.

Легко проверить, что все аксиомы скалярного произведения действительно выполняются.

В пространстве $L_2$, как и во всяком евклидовом пространстве, имеет место неравенство Коши-Буняковского:

${(\underset{X}{\int }f(x)g(x)d\mu )}^2\le \underset{X}{\int }{f}^2(x)d\mu \cdot \underset{X}{\int }{g}^2(x)d\mu$.

Если мера всего множества $X$ конечна, то, положив $g\equiv 1$, получим следующее важное неравенство:

${(\underset{X}{\int }f(x)d\mu )}^2\le \mu (X)\cdot \underset{X}{\int }{f}^2(x)d\mu$.

Как и в любом другом евклидовом пространстве, в $L_2$ можно задать норму

$\Vert f\Vert =\sqrt{(f,f)}=\sqrt{\underset{X}{\int }{f}^2(x)d\mu }$

и метрику

$\rho (f,g)=\Vert f-g\Vert =\sqrt{\underset{X}{\int }(f-g{)}^2(x)d\mu }$.

Данная метрика часто называется средним квадратичным уклонением. Сходимость в метрике пространства $L_2$ называют сходимостью в среднем квадратичном.

Теорема 1. Если $\mu (X)<\mathrm{\infty }$, то пространство $L_2(X,\mu )$ полно.