Теория функций действительного переменного/Теория дифференцирования

Монотонные функции

Функция $f$, заданная на некотором отрезке числовой прямой называется монотонной, если из

$x_1\le x_2$

следует

$f(x_1)\le f(x_2)$.

Рассмотрим один важный класс монотонных функций — функции скачков. Пусть на отрезке $[a;b]$ задано конечное или счётное число точек

$x_1,x_2,...,x_n,...$,

причём

$a\le x_n<b$.

и для каждой из них определено положительное число $h_n$, причём сумма

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{h}_n$

ограничена. Определим функцию $f$ на отрезке $[a;b]$ следующим образом:

$f(x)=\sum _{x_n<x}{h}_n$.

Очевидно, что построенная функция является монотонной неубывающей и непрерывной слева. Можно образом построить аналогичную невозрастающую функцию, для этого достаточно потребовать, чтобы все $h_n$ были отрицательными.

Множество точке разрыва построенной таким образом функции совпадает с множеством $\{x_n\}$, причём скачок в точке $x_n$ равен $h_n$.

Рассмотрим некоторые свойства монотонных функций.

Свойство 1. Всякая монотонная на отрезке $[a;b]$ функция $f$ измерима, ограничена и, как следствие, суммируема.

Доказательство. Рассмотрим монотонно неубывающие функции. Ограниченность следует из определения монотонной функции, действительно, на отрезке $[a;b]$ имеют место неравенства

$f(a)\le f(x)\le f(b)$.

Для любого постоянного вещественного числа $c$ множество

$X_c=\{x\mid f(x)<c\}$

есть либо отрезок, либо полуинтервал, либо пустое множество, отсюда и следует измеримость функции.

Для монотонно невозрастающих функции доказывается аналогично.

Свойство 2. Монотонная функция может иметь разрывы только первого рода.

Доказательство. Пусть $c$ — некоторая точка отрезка $[a;b]$. Рассмотрим возрастающую последовательность

$\{x_n\}$

такую, что

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n=c$,

причём

$x_n<c$.

Построим последовательность значений функции

$\{f(x_n)\}$,

данная последовательность является монотонной и ограниченной, а следовательно имеет предел, таким образом функция $f(x)$ имеет предел слева в каждой точке. Аналогично можно доказать существование правого предела монотонной функции в любой точке.

Свойство 3. Множество точек разрыва монотонной функции не более чем счётно.

Доказательство. Сумма любого конечно числа скачков монотонной на отрезке $[a;b]$ функции $f$ не превосходит $f(b)-f(a)$, следовательно, для каждого натурального числа $n$ число скачков, величина которых больше, чем $1/n$ ограничено величиной

$\frac{f(b)-f(a)}{n}$.

Произведя суммирование по всем натуральным числам, получаем, что количество скачков конечно или счётно.

Свойство 4. Всякую монотонную функцию, непрерывную слева, можно представить в виде суммы непрерывной монотонной функции и непрерывной слева функции скачков, причём это представление — единственно.

Функции с ограниченным изменением

Функция $f$, заданная на отрезке $[a;b]$ называется функцией с ограниченным изменением, если существует такое вещественное число $M$, что для любого разбиения отрезка $[a;b]$ точками

$a=x_0<x_1<...<x_n=b$

выполняется неравенство

$\sum _{i=1}^n|f(x_i)-f(x_{i-1})|\le M$.

Всякая монотонная функция является функцией с ограниченным изменением, так как для неё величина суммы не зависит от разбиения отрезка и равна $|f(b)-f(a)|$.

Пусть $f$ — функция с ограниченным изменением. Точная верхняя грань сумм

$\sum _{i=1}^n|f(x_i)-f(x_{i-1})|$

по всевозможным конечным разбиениям отрезка $[a;b]$ называется полным изменением (или полной вариацией) функции $f$ на отрезке $[a;b]$ и обозначается $V_a^b[f]$, таким образом

$V_a^b[f]=\sup \sum _{i=1}^n|f(x_i)-f(x_{i-1})|$

Функция, заданная на всей числовой прямой называется функцией с ограниченным изменением, если для всевозможных отрезков $[a;b]$ величины $V_a^b[f]$ ограничены в совокупности. Величина

$\underset{\begin{array}{c}a\to -\mathrm{\infty }\\ b\to +\mathrm{\infty }\end{array}}{\lim }{V}_a^b[f]$

называется полным изменением функции на числовой прямой и обозначатся

$V_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}[f]$.

Свойство 1. Если $\alpha$ — вещественное число, тогда

$V_a^b[\alpha f]=|\alpha |V_a^b[f]$.

Свойство 2. Если $f$ и $g$ — функции с ограниченным изменением, то функция $f+g$ также является функцией с ограниченным изменением, причём

$V_a^b[f+g]\le V_a^b[f]+V_a^b[g]$.

Из свойств 1 и 2 следует, что функции с ограниченным изменением образуют линейное пространство.

Свойство 3. Если $a<b<c$, то

$V_a^c[f]=V_a^b[f]+V_b^c[f]$.

Свойство 4. Если рассматривать полное изменение как функцию верхнего предела

$v(x)=V_a^x[f]$,

то эта функция будет монотонно неубывающей.

Свойство 5. Если функция $f$ — непрерывна в точке $x^{*}$ слева, то и функкция

$v(x)=V_a^x[f]$

будет непрерывна в этой точке слева.

Теорема. Всякая функция с ограниченным изменением может быть представлена как разность двух монотонно неубывающих функций.

Полное изменение функции $V_a^b[f]$ обладает обладает свойствами 1, 3 и 4 нормы, но не свойством 2 (для всех постоянных функций полное изменение равно нулю). Рассмотрим функции с ограниченным изменением, удовлетворяющие условию

$f(a)=0$,

эти функции образуют линейное пространство, в котором полное изменение обладает всеми свойствами нормы. Это пространство обозначают $V^0[a;b]$.

Можно доказать, что функционал

$|f(a)|+V_a^b[f]$

обладает всем свойствами нормы в пространстве всех функций с ограниченным измерением, а само это пространство является полным.

Производная

Теорема 1 (Лебег). Монотонная функция $f$, определённая на отрезке $[a;b]$, имеет почти всюду на этом отрезке конечную производную.