Теория функций действительного переменного/Эквивалентные множества

Шаблон:Содержание «Теория функций действительного переменного» Для решения вопроса о том, равное ли число элементов содержат два множества A и B, можно поступить двумя способами. Первый способ состоит в подсчёте числа элементов в каждом множестве и сравнении полученных натуральных чисел. Второй способ не требует знания количества элементов в каждом из множеств А и В. Он состоит в попытке установить между множествами А и B взаимно однозначное соответствие (биекцию). Если биекцию f:А→ B удалось отыскать, то это означает, что количество элементов в А и B одинаково. Например, если в трамвае каждый пассажир сидит на сидении , и при этом нет ни свободных мест, ни стоящих пассажиров, то тем самым установлено взаимно однозначное соответствие (биекция) между множеством пассажиров и множеством посадочных мест, поэтому число сидений в данном трамвае равно числу севших в него пассажиров. Хотя второй метод несёт меньше информации, чем первый (он устанавливает равенство числа элементов в множествах А и B, но не указывает самого числа), у него есть преимущество применимости для количественного сравнения бесконечных множеств.

Определение: Множество A называется эквивалентным множеству B, если существует биекция f:А→B. В этом случае говорят также, что множество A имеет одинаковую мощность с множеством B. Обозначение:A~B или $\overline{\stackrel{‾}{A}}=\overline{\stackrel{‾}{B}}$.

Примеры

1. Множество всех натуральных чисел $\mathbb{N}$ эквивалентно множеству $2\mathbb{N}=\{2,4,6...\}$ всех чётных чисел, так как отображение $f:\mathbb{N}\to 2\mathbb{N}$, определяемое формулой f(n)=2n есть биекция.
2. Функция $f(x)=\tan x$ взаимно однозначно отображает интервал $(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$ на все множество действительных чисел $ℝ$. Поэтому $(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})\sim ℝ$. (Заметим: оказывается, в ограниченном интервале содержится столько же точек, сколько и на всей бесконечной числовой прямой!)
3. Функция $f=(b-a)x+a$ взаимно однозначно отображает интервал $(0,1)$ на интервал $(a,b)$, а сегмент [0,1] на сегмент [a,b], поэтому (0,1)~(a,b); [0,1]~[a,b].

Теорема 1:

1. Всегда A~A;
2. Если A~B, то B~A.
3. Если A~B и B~C, то A~C.

Доказательство строится на определении эквивалентного множества и свойств биекции:

1. Тождественное отображение id:A→A есть биекция.
2. Если f:А→B- биекция, то и обратное отображение f^-1:B→A— биекция.
3. Если f:A→B и g:B→C- биекции, то и их композиция f•g:A→C - биекция.

Теорема 2: Если $A_1\sim B_1$, $A_2\sim B_2$, то $A_1\times A_2\sim B_1\times B_2$.

Доказательство

Пусть $f_1:A_1\to B_1$ и $f_2:A_2\to B_2$ — биекции. Определим отображение $f:A_1\times A_2\to B_1\times B_2$ формулой $f(a_1,a_2)=(f_1(a_1),f_2(a_2))$. Тогда $f$ есть биекция, так как для любого элемента $(b_1,b_2)$ декартова произведения $B_1\times B_2$ в декартовом произведении $A_1\times A_2$ имеется единственный прообраз относительно отображения $f$, именно точка $(f_1^{-1}(b_1),f_2^{-1}(b_2))$.

Tеорема 3: Пусть $\{A_x{\}}_{x\in X}$ и $\{B_y{\}}_{y\in Y}$- два семейcтва попарно непересекающихся множеств, и пусть существует такая биекция: f:X→Y, что A_x~B_f(x) для любого элемента $x\in X$. Тогда множества $A=\bigcup _{x\in X}{A}_x$ и $B=\bigcup _{y\in Y}{B}_y$ эквивалентны.

Доказательство

Обозначим через g_x биекцию множества А_x на множество B_f(x). Пусть $a$- произвольный элемент из А. Тогда, так как множества первого семейства попарно не пересекаются, существует единственный элемент $x\in X$, такой, что $a\in A_x$. Поставим в соответствие элементу a элемент g_x(a) из B_f(x), принадлежащий вместе с тем и множеству B. Получим биекцию множества А на B. Действительно, если b произвольный элемент из B, то в силу попарной непересекаемости множеств второго семейства, существует единственный элемент $y\in Y$, такой, что $b\in B_y$. Ясно, что элемент $g_{f^{-1}(y)}^{-1}(b)$ является единственным прообразом элемента b при нашем соответствии.

Tеорема 4: Если $A_3\subset A_2\subset A_1$ и A₃~A₁, то A₂~A₁.

Доказательство

Так как A₁~A₃, то существует биекция f:A₁→A₃. Положим $A_4=f(A_2),A_5=f(A_3)$ и далее по индукции, если множества A₁, A₂,...A_n уже определены, то полагаем $A_{n+1}=f(A_{n-1}),A_{n+2}=f(A_n)$. Таким образом, получается последовательность множеств $\{A_n\}$. Покажем, что эта последовательность удовлетворяет следующим трем условиям:

1. $A_1\supset A_2\supset ...\supset ...A_n\supset ...$  (1)
2. для всех m≠n $(A_m\setminus A_{m+1})\cap (A_n\setminus A_{n+1})=\varnothing$  (2)
3. для всех $n\in \mathbb{N}{A}_n\setminus A_{n+1}\sim A_{n+2}\setminus A_{n+3}$  (3)

Докажем условие (1) по индукции. Отношения $A_1\supset A_2\supset A_3$ выполнены по условию теоремы. Допустим, что верны отношения $A_1\supset A_2\supset ...\supset A_n$. Тогда из $A_{n-2}\supset A_{n-1}\supset A_n$ следует $f(A_{n-2})\supset f(A_{n-1})\supset f(A_n)$, то есть $A_n\supset A_{n+1}\supset A_{n+2}$. Тем самым условие (1) доказано.
Условие (2) вытекает из (1), так как при m≠n полагая, например, m>n, будем иметь $A_m\setminus A_{m+1}\subset A_m\subset A_{n+1}$. Следовательно, любая точка из A_m\A_m+1 не принадлежит A_n\A_n+1.
Для доказательства (3) заметим, что из отношений $A_{n+1}\subset A_n,f(A_n)=A_{n+2},f(A_{n+1})=A_{n+3}$ и биективности f следует $f(A_n\setminus A_{n+1})=f(A_n)\setminus f(A_{n+1})=A_{n+2}\setminus A_{n+3}$, что и означает справедливость отношений (3).

Положим $C=\bigcap _{n\in \mathbb{N}}{A}_n$. Тогда справедливы равенства (4):   $A_1=C\cup (A_1\setminus A_2)\cup (A_2\setminus A_3)\cup ...$ и (5):  $A_2=C\cup (A_2\setminus A_3)\cup (A_3\setminus A_4)\cup ...$, причём слагаемые в них попарно не пересекаются.
Докажем, например, равенство (4). Из соотношений (1) следует, что все слагаемые правой части равенства (4) содержатся в его левой части. Докажем обратное включение. Пусть $x\in A_1$. Если $x\in C$, то $x$ принадлежит и всей правой части. Если же $x\in ̸C$, то существует такоЙ номер n, что $x\in ̸A_n$. Пусть m - наименьший из номеров, для которого $x\in ̸A_m$. Так как $x\in A_1$, то m ≥ 2. Ясно, что $x\in A_{m-1}$. Поэтому $x\in A_{m-1}\setminus A_m$. Следовательно, $x$ принадлежит и всей правой части равенства (4), что и завершает его доказательство.

Докажем еще, что слагаемые в правой части равенства (4) попарно не пересекаются. Первое слагаемое С не пересекается с любым слагаемым $A_n\setminus A_{n+1}$ в силу очевидного включения $C\subset A_{n+1}$, а остальные слагаемые попарно не пересекаются в силу (2).

Если положить $E=C\cup (A_2\setminus A_3)\cup ...\cup (A_{2n}\setminus A_{2n+1})\cup ...$, то равенства (4) и (5) можно переписать следующим образом:$A_1=E\cup (A_1\setminus A_2)\cup (A_3\setminus A_4)\cup ...\cup (A_{2n-1}\setminus A_{2n})\cup ...$
$A_2=E\cup (A_3\setminus A_4)\cup (A_5\setminus A_6)\cup ...\cup (A_{2n+1}\setminus A_{2n+2})\cup ...$. В этих двух объединениях слагаемые, стоящие на одинаковых местах, начиная со второго, эквивалентны в силу (3), а первые слагаемые одинаковы и потому тоже эквивалентны. По теореме 3: множества A₁ и A₂ эквивалентны.

Понятие эквивалентности двух множеств было бы бессодержательным, если б оказалось, что все бесконечные множества эквивалентны между собой. Однако это не так, что и вытекает из следyщей теоремы.

Теорема 5 (Теорема Кантора):. Множество X и его булеан (множество всех его подмножеств) $𝔅(X)$ не эквивалентны.

Доказательство

Допустим противное, что $X\sim 𝔅(X)$. Тогда существует биекция: $f:X\to 𝔅(X)$. Для любого элемента $x\in X$  f(x) есть элемент булеана $𝔅(X)$, то есть подмножество множества X. Возможны две ситуации: либо $x\in f(x)$, либо $x\notin f(x)$. Обозначим через Y множество всех таких элементов $y\in X$, что $y\notin f(y)$. Множество Y одновременнно является элементом булеана $𝔅(X)$. Поэтому существует такой единственный элемент $y_0\in X$ , что f(y₀)=Y. Ясно, что либо $y_0\in Y$, либо $y_0\notin Y$. Покажем, что оба эти отношения невозможны, что и докажет теорему.

Пусть $y_0\in Y$. Но Y=f(y₀), значит $y_0\in f(y_0)$. Но в таком случае по определению Y $y_0\notin Y$. Получили противоречие.
Пусть теперь $y_0\notin Y=f(y)$. Но такой элемент должен по определению множества Y принадлежать Y: $y_0\in Y$. Опять получилось противоречие.

Упражнения

1. Установите биекцию между;

1. промежутками $(0,+\mathrm{\infty })$ и $(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$;
2. промежутками $[a,b)$ и $[0,+\mathrm{\infty })$;
3. промежутками (a,b) и $(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$.

2. Доказать, что если A\B~B\A, то A~B.

З. Доказать, что если $A\subset B$ и $A\sim A\cup C$, то $B\sim (B\cup C)$.

4. Доказать, что если $A\supset C$, $B\supset D$ и $C\cup B\sim C$, то $A\cup D\sim A$.

5. Пусть $A=A_1\times A_2\times ...\times A_n\times ...$ и $B=B_1\times B_2...\times B_n\times ...$ и $(\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N})A_n\sim B_n$. Доказать, A~B.

6. Установите биекцию между

1. единичной окружностью и периметром квадрата [0,1]×[0,1];
2. двумя кругами разных радиусов;
3. внутренностью единичного круга и плоскостью ${ℝ}^2$;
4. открытым прямоугольником (0,1)×(2,6) и плоскостью ${ℝ}^2$;
5. кольцом $1<x^2+y^2<2$ и внешностью единичного круга;
6. полосой 1<x+y<2 и плоскостью ${ℝ}^2$;
7. открытой полуплоскостью x<y и плоскостью ${ℝ}^2$.