Основы теоретической физики/Уравнение Гамильтона-Якоби

1.3.8. Уравнение Гамильтона-Якоби

Перепишем поученное ранее уравнение для действия как функции координат и времени  Шаблон:ОТФ : Шаблон:ОТФ

Если в  Шаблон:ОТФ  выразить импульсы через действие по формуле  Шаблон:ОТФ , то получим дифференциальное уравнение для функции $S(q,t)$: Шаблон:ОТФ

Это выражение называется «уравнением Гамильтона-Якоби». Для системы с s – степенями свободы, в общем случае, решение уравнение  Шаблон:ОТФ  будет содержать s+1 произвольных постоянных: Шаблон:ОТФ

Выполним над функцией  Шаблон:ОТФ  канонические преобразования  Шаблон:ОТФ , считая f – производящей функцией, которая зависит от старых координат и новых импульсов: Шаблон:ОТФ

С другой стороны, поскольку  Шаблон:ОТФ  – это решение уравнения  Шаблон:ОТФ , получаем: Шаблон:ОТФ

Значит уравнения Гамильтона для новых координат  Шаблон:ОТФ  принимают вид: Шаблон:ОТФ

Условия  Шаблон:ОТФ  и  Шаблон:ОТФ  дают возможность найти все траектории $q_{{}_i}(t,a_1,...,a_{2s})$ механической системы как функции зависимости координаты от времени и 2s произвольных постоянных. Решение этой задачи нужно вести по следующему алгоритму:

1. По функции Гамильтона составляется уравнение Гамильтона-Якоби  Шаблон:ОТФ  и находится решение этого уравнения – действие S.

2. Приравнивая производную от  Шаблон:ОТФ  по постоянным интегрирования $P_i$ к новым постоянным $Q_i$, получается система из s дифференциальных уравнений: Шаблон:ОТФ

3. Решая систему  Шаблон:ОТФ , находятся траектории как функции от времени и 2s произвольных постоянных $q_{{}_i}(t,a_1,...,a_{2s})$.

4. Зависимость импульсов от времени можно найти по известному действию и траекториям: Шаблон:ОТФ

См. также

<<Назад  |  Далее>>
Оглавление