Интегральное исчисление/Методы интегрирования

← Основные свойства неопределённого интеграла | Методы интегрирования | Интегрирование полиномиальных и рациональных функций →

---

В предыдущей главе были приведены основные свойства интегралов, которые позволяют непосредственно брать некоторые виды интегралов. Знание этих свойств и овладение навыками анализа подынтегрального выражения, выявление его структуры и перспектив того или иного подхода, позволяют находить интегралы от сложных функций. Но хочется подчеркнуть ещё раз, что процесс интегрирования является в некотором смысле искусством, так как, в отличие от дифференцирования, не существует чёткой последовательности действий, которые бы всегда приводили бы к успеху. В этом проявляется особенность интегрирования, как действия обратного по отношению к дифференцированию.

В первую очередь для решения интегралов необходимо хорошо знать правила дифференцирования, табличные значения производных и интегралов и уметь их распознавать в различной записи. Важно владеть навыками алгебраических преобразований, связями между основными математическими функциями, например, знать формулы приведения или кратных и дольных аргументов тригонометрических функций, свойства степенных, показательных и логарифмических функций.

Теорема Лиувилля об интегрировании в элементарных функциях, являясь основой для создания алгоритмов символьного интегрирования, тем не менее не освобождает от вычислительной сложности.

На рассмотренных в главе 4 свойствах основан тот или иной метод интегрирования.

О вынесении постоянного множителя из-под знака интеграла можно сказать лишь то, что это фактически не изменяет сложности интеграла.

Разбиение подынтегрального выражения, представляющего собой сумму, на слагаемые позволяет разбить интеграл на более простые (если это необходимо) и находить интегралы уже от отдельных частей. Но при этом нужно быть внимательным, так как может получиться так, что сумму интегрировалась бы проще, чем каждый из слагаемых. Например, рассмотрим следующий пример.

Шаблон:ЯкорьПример 5.1. Найти интеграл Шаблон:ЯкорьШаблон:Формула Решение. С первого взгляда для решения интеграл (5.1) нужно разбить на два слагаемых и каждое проинтегрировать по частям, но если обратить внимание на тот факт, что подынтегральное выражение $(x{\ln }^{2}x+x\ln x)dx=x\ln x(\ln x+1)dx$, а выражение в скобках к тому же является производной от $x\ln x$, то (5.1) можно найти так: Шаблон:Формула

Особенно часто при символьном интегрировании используются методы подстановки и интегрирования по частям.

Метод подстановки

Для успешного использования метода введения новой переменной необходимо наперёд продумывать все перспективы и опасности выбранной замены, ибо неудачная подстановка может сильно усложнить интеграл или сделать его вообще неинтегрируемым в замкнутой форме. Рассмотрим пару примеров на использование метода введения новой переменной.

Пример 5.2. Найти интеграл Шаблон:Формула Решение. Сделаем следующую замену $x=\sin t$ (можно также использовать подстановку $x=\cos t$), отсюда $dx=\cos tdt$. Подставляем в исходное выражение: Шаблон:Формула Воспользовавшись основным тригонометрическим тождеством $1-{\sin }^{2}t={\cos }^{2}t$, получим: Шаблон:Формула Понизим степень косинуса: Шаблон:Формула Разбиваем интеграл на два: Шаблон:Формула Дальнейшие выкладки элементарны: Шаблон:Формула Теперь нужно снова вернуться к переменной $x$, для этого выразим $t$ из подстановки: Шаблон:Формула Значит исходный интеграл равен: Шаблон:Формула Преобразуем синус двойного аргумента: Шаблон:Формула Воспользовавшись связью прямых и обратных тригонометрических функций, окончательно получим: Шаблон:Формула Пример 5.3. Найти интеграл Шаблон:Формула Решение. В этом интеграле произведём следующую подстановку $t=\sqrt{\frac{x-3}{x+7}}$ и выразим из неё исходную переменную: Шаблон:Формула Получив выражение для $x(t)$, можно найти значение $dx$: Шаблон:Формула Имея теперь все необходимые соотношения, подставим их в исходный интеграл: Шаблон:Формула Преобразуем интеграл следующим образом: Шаблон:ЯкорьШаблон:Формула Интеграл от первого слагаемого известен (это так называемый «толстый» логарифм): Шаблон:Формула Второе слагаемое можно вычислить методом разбиения на простые дроби (ему будет посвящена отдельная глава), но мы здесь пойдём другим путём и преобразуем этот интеграл к виду: Шаблон:Формула Первый интеграл нам уже известен (только с противоположным знаком): Шаблон:Формула а второй интеграл мы возьмём по частям, используя формулу (4.42): Шаблон:Формула Шаблон:Формула Найденные выражения подставим в левую часть (5.17): Шаблон:Формула после приведения подобных имеем: Шаблон:Формула Теперь остаётся только вернуться к исходному $x$: Шаблон:Формула Произведя несложные упрощения, в итоге будем иметь: Шаблон:Формула

Заведение под дифференциал

Из свойства 4.3 также вытекает метод занесения (заведения) под дифференциал — частный случай метода замены переменной, когда явно имеется выражение вида $\int f(x)\cdot f^{\prime }(x)dx$, которое в свою очередь равно $\int f(x)d[f(x)]$.

Пример 5.1 наглядно показывает, как важно уметь выявлять скрытые зависимости между функцией и её производной в подынтегральном выражении — в большинстве случаев этот навык позволяет находить решения для большого класса выражений.

Приведём несколько примеров.

Пример 5.4. Взять интеграл Шаблон:Формула Решение. Раскроем гиперболический тангенс через его определение: Шаблон:Формула Следовательно, Шаблон:Формула Занося под дифференциал $e^x-e^{-x}$, получаем: Шаблон:Формула Последнее выражение можно записать по-другому: Шаблон:Формула где $C^{\prime }=C+\ln 2$.

Пример 5.5. Взять интеграл Шаблон:Формула Решение. Чтобы произвести вычисление интеграла предварительно преобразуем его так, чтобы можно было выполнить заведение под дифференциал: Шаблон:Формула Сейчас интеграл уже можно взять как табличный: Шаблон:Формула Теперь выражение, стоящее под логарифмом, преобразуем к более простому виду. Из курса тригонометрии известно, что: Шаблон:Формула Заменим $x$ на $\frac{\pi }{2}+x$ и применим формулу приведения: Шаблон:Формула Шаблон:Формула Можно получить и другое эквивалентное выражение. Для этого преобразуем $\sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}}$ вот так: Шаблон:Формула Шаблон:Формула С учётом этого мы получаем следующий ответ: Шаблон:Формула Аналогично можно найти, что: Шаблон:Формула Иногда под дифференциал приходится заводить несколько раз. Рассмотрим следующий пример.

Пример 5.6. Взять интеграл Шаблон:Формула Решение. Заведём первоначально под дифференциал $2x$ как $d(x^2+1)$: Шаблон:Формула Теперь можно видеть, что под дифференциал можно завести $\frac{1}{x^2+1}$, получая при этом: Шаблон:Формула Теперь интеграл можно взять: Шаблон:Формула Ответ. Шаблон:Формула

Метод интегрирования по частям

Не менее распространённым, чем ранее рассмотренный метод, является метод интегрирования по частям. Очень часто удачное разделение подынтегрального выражения на $u$ и $dv$ (в обозначениях свойства 4.4) позволяет получить решение интеграла в виде квадратур. Ясно, что этот выбор должен быть обоснованным, так как от его правильности зависит вычислительная сложность задачи символьного интегрирования.

Этот метод хорошо подходит для нахождения интегралов вида:

• $\int x^k{\ln }^{m}xdx;$
• $\int x^k{\sin }^{m}axdx,\int x^k{\cos }^{m}axdx;$
• $\int x^k{e}^{ax}dx$

и других.

Здесь $k,m\in \mathbb{N},a\ne 0$.

Он же позволяет найти интегралы:

• $\int \arcsin xdx,\int \arccos xdx;$
• $\int \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}xdx,\int \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}xdx;$
• $\int \ln xdx.$

Основной рекомендацией для использования этого метода является, пожалуй, совет выбирать за $u$ такое выражение, которое бы позволило упростить выражение, но при этом важно, чтобы интеграл от $dv$ можно было найти известным способом. Важно заметить: может оказаться, что нужно будет выбрать функцию, интеграл от которой трудно найти, но при этом исходный интеграл может быть решён. В подтверждение этих слов рассмотрим следующий пример.

Пример 5.7. Найти интеграл Шаблон:Формула Решение. Здесь мы имеем произведение двух функций $f(x)=x$, производная и интеграл которой известны, и $\phi (x)={\sin }^{2}x$, производную которой можно легко найти, а интеграл также найти, применяя специальные методы интегрирования тригонометрических функций (см. соответствующую главу). Из-за того, что производную от $\phi (x)$ найти легче, чем интеграл, казалось бы нужно разыскивать именно её: Шаблон:Формула Но при этом $\int f(x)dx=\int xdx=\frac{x^2}{2}$, как мы видим, усложняется и не приближает нас к решению поставленной задачи.

Таким образом, для взятия интеграла нужно искать интеграл от более сложной функции ${\sin }^{2}x$. Именно так мы и поступим: Шаблон:Формула Шаблон:Формула Шаблон:Формула Шаблон:Формула Шаблон:Формула

Рассмотрим другой пример.

Пример 5.8. Найти интеграл Шаблон:Формула Решение. В этом случае дифференцирование $\sin x$ и интегрирование $x^2$ также не позволит разыскать ответ. Здесь мы поступим так: Шаблон:Формула Шаблон:Формула Повторно применив интегрирования по частям ко второму слагаемому, имеем: Шаблон:Формула Шаблон:Формула Значит в итоге получаем ответ: Шаблон:Формула

При интегрировании по частям несколько раз в процессе вычисления можно получить исходный интеграл как составную часть выражения, поэтому приходится решать линейное уравнение для нахождения этого интеграла. Любопытны с этой точки зрения интегралы вида: Шаблон:Формула где $a$ и $b$ — константы, отличные от нуля.

Найдём их, полагая $u=\sin bx$ (соответственно $du=b\cos bxdx$) и $dv=e^{ax}dx$ (соответственно $v=\frac{1}{a}{e}^{ax}$). Тогда интеграл преобразуется к виду: Шаблон:Формула Повторное интегрирование по частям с тем же выражением $dv=e^{ax}dx$ и $u=\cos bx$ ($du=-b\sin bx$) даёт: Шаблон:Формула Мы получили линейное уравнение относительно интересующего нас интеграла. Раскрывая скобки и перенося интеграл в левую часть, найдём, что: Шаблон:Формула

Таким же образом можно получить: Шаблон:Формула

Обобщённая формула интегрирования по частям

Повторное применение правила интегрирования по частям приводит к так называемой обобщенной формуле интегрирования по частям.

Предположим, что функции $u$ и $v$ в рассматриваемом промежутке $𝒳$ обладают непрерывными производными всех порядков, до $(n+1)$-го включительно, то есть все функции $u,v,u^{\prime },v^{\prime },\dots ,u^{(n)},v^{(n)},u^{(n+1)},v^{(n+1)}$ непрерывны. Тогда имеет место следующая формула: Шаблон:ЯкорьШаблон:Формула Шаблон:Доказательство

Особенно выгодно пользоваться этой формулой, когда одним из множителей подынтегральной функции служит многочлен целой степени: если $u$ представляет собой многочлен $n$-й степени, то $u^{(n+1)}$ тождественно равно нулю, и интеграл в правой части исчезает, тем самым мы получаем уже готовый ответ.

Рассмотрим применение формулы (5.57) к следующим интегралам: Шаблон:Формула где $P_n(x)$ — многочлен $n$-ой степени от $x$, $a\ne 0$.

Полагая $v^{(n+1)}=e^{ax}$ и последовательно интегрируя, будем иметь: Шаблон:Формула В результате применения формулы (5.57) получаем: Шаблон:ЯкорьШаблон:Формула Теперь положим $v^{(n+1)}=\sin ax$, следовательно Шаблон:Формула Шаблон:Формула Аналогичные выкладки для третьего интеграла дают: Шаблон:Формула

Формулы приведения

Под формулами приведения в интегральном исчислении понимают формулы, позволяющие понизить степень в подынтегральной функции. Например, рассмотрим интеграл Шаблон:ЯкорьШаблон:Формула где $\alpha \in ℝ,m\in \mathbb{N}$.

Если $\alpha =-1$, то интеграл берётся просто: нужно представить $x^{-1}dx$ как $d(\ln x)$ и взять интеграл от степенной функции. Нас больше будет интересовать случай, когда $\alpha \ne -1$.

Применим интегрирование по частям, приняв $u={\ln }^{m}x$: Шаблон:Формула Как мы видим, мы снова пришли к интегралу того же вида, но со степенью логарифма на единицу ниже. Продолжая в том же духе, мы в конце концов придём к интегралу, не содержащему $\ln x$.

Если в интеграле сделать замену $t=\ln x$, то интеграл (5.66) перейдёт в интеграл вида: Шаблон:ЯкорьШаблон:Формула и аналогичным образом вывести формулу приведения, полагая $u=x^m$: Шаблон:Формула Также для интеграла (5.68) можно было сразу воспользоваться формулой (5.62), где $P(x)=x^m$.

Очень часто формулы приведения используют для интегралов вида:

$\int [f(x){]}^{n}dx$

или

$\int [f(x){]}^n[\phi (x){]}^{m}dx,$

где $n,m\in \mathbb{Z}$.

Для таких интегралов формулам приведения придают такой вид, чтобы показатели $m$ и $n$ уменьшались или увеличивались таким образом, чтобы получить такой вид подынтегральной функции, интеграл от которой известен.

Рекуррентные соотношения

Как мы видели выше формулы приведения позволяют понизить или повысить степень подынтегральной функции и последовательно свести интеграл к известному. Этот процесс можно рассматривать как задание рекуррентной функции, то есть такой функции, вид которой определяется через её значения при меньшем значении некоторого параметра. В нашем случае этим параметром будет показатель степени.

Рассмотрим интеграл вида: Шаблон:ЯкорьШаблон:Формула где $n\in \mathbb{N}$.

Применим к нему интегрирование по частям, полагая $u=[f(x){]}^n$, тогда: Шаблон:Формула Если удастся каким-либо способом представить интеграл $\int [f(x){]}^{n-1}x{f}^{\prime }(x)dx=\phi (x)+C\int [f(x){]}^{n-1}dx$, где $\phi (x)$ — некоторая функция (возможно содержащая какой-то интеграл функции от $x$ и $f^{\prime }(x)$, но не содержащая в явной форме интеграл от $[f(x){]}^k,k\in \mathbb{N}$), $C=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}$, то мы можем выразить интеграл (5.70) через интеграл с меньшей степенью: Шаблон:Формула или, если рассматривать интеграл как функцию параметра $n$: Шаблон:Формула Заменяя $n$ на $n+1$, будем иметь выражение, связывающее последующее значение с предыдущим: Шаблон:Формула В общем случае: Шаблон:Формула

Рассмотрим пример.

Шаблон:ЯкорьПример 5.9. Найти интеграл Шаблон:Формула где $n\in \mathbb{N}$.

Решение. Если $n=1$, то интеграл $\int \frac{dx}{x^2+a^2}=\frac{1}{a}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{x}{a}+C$. Теперь в предположении, что $n>1$, воспользуемся формулой интегрирования по частям: Шаблон:ЯкорьШаблон:Формула Шаблон:Формула Преобразуем интеграл в правой части: Шаблон:ЯкорьШаблон:Формула Подставляя (5.78) в (5.77), получаем: Шаблон:Формула откуда Шаблон:Формула Теперь задаваясь различными натуральными $n$, можно последовательно получать интегралы $I_n$. Так при $n=1$: Шаблон:Формула При $n=2$ Шаблон:Формула И так далее.