Основы теоретической физики/Ангармонические колебания

1.5.7. Ангармонические колебания

Теория малых колебаний основана на разложении потенциальной энергии в ряд Тейлора до членов первого или второго порядка малости. В этом случае уравнения движения получаются линейными, поэтому малые колебания еще называют «линейными колебаниями». Учет членов более высокого порядка малости приводит к появлению некоторых новых особенностей движения.

Проведем разложение потенциальной энергии до членов четвертого порядка малости и запишем сразу функцию Лагранжа: Шаблон:ОТФ

Если перейти к нормальным координатам, то первое слагаемое в  Шаблон:ОТФ  будет таким же как формула  Шаблон:ОТФ , второе и третье слагаемые тоже заменятся: Шаблон:ОТФ

Найдем уравнения движения: Шаблон:ОТФ

Уравнение движения  Шаблон:ОТФ  — это неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с правой частью. Решение можно найти «методом последовательных приближений» в виде суммы: Шаблон:ОТФ

Первое слагаемое в  Шаблон:ОТФ  это частное решение уравнения  Шаблон:ОТФ  без правой части, то есть обычное гармоническое колебание: Шаблон:ОТФ

Где ${\omega }_i$ — это «собственные частоты» ангармонических колебаний. Для краткости, не будем далее учитывать начальный фазовый сдвиг ${\alpha }_i$, поскольку его всегда можно принять равным нулю, соответствующим выбором начала отсчета времени.

Собственные частоты ангармонических колебаний отличаются от частот линейных (гармонических). Будем считать это отличие малым, тогда точная частота будет находиться в виде ряда: Шаблон:ОТФ

Где ${\omega }_i^{(0)}$ — это собственные частоты гармонических колебаний. То есть в первом приближении, решением уравнения  Шаблон:ОТФ  можно считать функцию: Шаблон:ОТФ

Второе слагаемое в  Шаблон:ОТФ  ищут из  Шаблон:ОТФ , подставляя  Шаблон:ОТФ  в правую часть, а в левую часть нужно подставить  Шаблон:ОТФ , отбрасывая члены выше первого порядка малости: Шаблон:ОТФ

Как видно из  Шаблон:ОТФ , в правой части уравнений движения находятся члены, соответствующие колебаниям с частотами ${\omega }_{{}_k}\pm {\omega }_{{}_l}$. Это значит, что во втором приближении, на нормальные колебания системы с частотами ${\omega }_i$, накладываются дополнительные колебания с частотами ${\omega }_{{}_k}\pm {\omega }_{{}_l}$, которые носят название: «комбинационные частоты». Легко заметить, что амплитуды комбинационных колебаний пропорциональны произведению амплитуд соответствующих нормальных колебаний: $a_k{a}_l$.

Если в левую часть уравнения  Шаблон:ОТФ , вместо координаты подставить выражение  Шаблон:ОТФ , во втором приближении: Шаблон:ОТФ

Тогда получим дифференциальное уравнение для нахождения поправки $Q_i^{(2)}$: Шаблон:ОТФ

Третье и последующие слагаемые в  Шаблон:ОТФ  ищут аналогично второму слагаемому, оставляя в уравнении  Шаблон:ОТФ  члены соответствующего порядка малости и отбрасывая остальные.

См. также

<<Назад  |  Далее>>
Оглавление