Основы теоретической физики/Ангармонические колебания с одной степенью свободы

1.5.8. Ангармонические колебания с одной степенью свободы

В качестве примера ангармонических колебаний, полезно рассмотреть колебания системы с одной степенью свободы. Функция Лагранжа  Шаблон:ОТФ  для такой системы в декартовых координатах примет вид: Шаблон:ОТФ

Для одной степени свободы переход к нормальным координатам не сделает уравнения проще, поэтому будем дальше искать уравнение движения в декартовых координатах. Шаблон:ОТФ

Будем решать уравнение  Шаблон:ОТФ  в виде ряда последовательных приближений.

Первое приближение:

Считаем равными нулю все члены второго и третьего порядка малости. Шаблон:ОТФ

Здесь и далее начальную фазу не учитываем, поскольку ее всегда можно свести к нулю надлежащим выбором начального момента времени.

Второе приближение:

В уравнении  Шаблон:ОТФ , считаем равными нулю все члены выше первого порядка малости и воспользуемся решением, которое получилось в первом приближении. Шаблон:ОТФ

Подставим в левую часть уравнения  Шаблон:ОТФ  выражение: Шаблон:ОТФ

После подстановки получим: Шаблон:ОТФ

Во втором слагаемом правой части  Шаблон:ОТФ , амплитуда колебаний получается зависимой от частоты.

Такие слагаемые называются «резонансными» и их нужно отбрасывать в методе последовательных приближений как не имеющие физического смысла. Отбросить резонансное слагаемое в  Шаблон:ОТФ  можно если полагать ${\omega }^{(1)}$. В итоге из  Шаблон:ОТФ  получаем уравнение: Шаблон:ОТФ

Неоднородное линейное дифференциальное уравнение  Шаблон:ОТФ  решается обычными методами и получается ответ: Шаблон:ОТФ

Третье приближение:

В уравнении движения, считаем равными нулю все члены выше второго порядка малости и воспользуемся первым и вторым приближениями. Шаблон:ОТФ

Если теперь подставить в левую часть  Шаблон:ОТФ  выражения: Шаблон:ОТФ

После преобразований, аналогичных тем, которые делали для второго приближения приходим к следующему дифференциальному уравнению для третьего приближения: Шаблон:ОТФ

Подставляя в правую часть  Шаблон:ОТФ  известные выражения $x_{(1)}$ и $x_{(2)}$, получаем следующее уравнение: Шаблон:ОТФ

Во втором слагаемом правой части  Шаблон:ОТФ , амплитуда колебаний получается зависящей от частоты. Это резонансные члены, которые должны быть нулевыми. Отсюда следует, что вторая поправка к основной частоте равна: Шаблон:ОТФ

Комбинационное колебание третьего порядка тогда опять найдется из решения линейного неоднородного дифференциального уравнения: Шаблон:ОТФ

См. также

<<Назад  |  Далее>>
Оглавление