Основы теоретической физики/Вторая пара уравнений Максвелла
2.4.9. Вторая пара уравнений Максвелла
Найдем вариацию действия Шаблон:ОТФ: Шаблон:ОТФ
Согласно принципу наименьшего действия, вариация Шаблон:ОТФ должна равняться нулю. При этом первое слагаемое в Шаблон:ОТФ представляет собой действие свободной частицы в отсутствии поля, а второе и третье слагаемые – это действия, связанные с наличием электромагнитного поля.
Чтобы найти независимые от траекторий частиц уравнения электромагнитного поля, будем считать траектории известными. Тогда вариация по траекториям будет равна нулю: Шаблон:ОТФ
Точно заданные траектории также приводят к тому, что точно заданными будут и токи. То есть вариация токов тоже рана нулю: Шаблон:ОТФ
Подставим Шаблон:ОТФ и Шаблон:ОТФ в Шаблон:ОТФ и воспользуемся общими свойствами немых индексов у тензоров: Шаблон:ОТФ
Подставим в Шаблон:ОТФ определение тензора электромагнитного поля Шаблон:ОТФ и воспользуемся антисимметричностью этого тензора, тогда для вариации действия получим: Шаблон:ОТФ
Второй интеграл в Шаблон:ОТФ теперь возьмем по частям. Для этого сделаем следующую замену переменных: Шаблон:ОТФ
Подставим Шаблон:ОТФ во второй интеграл формулы Шаблон:ОТФ: Шаблон:ОТФ
Первое слагаемое в Шаблон:ОТФ можно упростить, применив теорему Гаусса для четырехмерного пространства: Шаблон:ОТФ
Интеграл Шаблон:ОТФ берется по четырехмерной поверхности , которая охватывает бесконечный четырехмерный объем . Любое физическое поле, в бесконечности стремится к нулю, значит поле на поверхности Si должно быть равно нулю, следовательно и интеграл Шаблон:ОТФ тоже равен нулю.
Таким образом, первое слагаемое в Шаблон:ОТФ равно нулю и подставляя второе слагаемое в Шаблон:ОТФ получим следующее выражение для вариации действия: Шаблон:ОТФ
Переобозначая в Шаблон:ОТФ индексы суммирования и вынося за скобки общие множители, получим: Шаблон:ОТФ
Уравнение Шаблон:ОТФ представляет собой четырехмерную форму записи уравнений электромагнитного поля. Для того, чтобы получить трехмерный вид этих уравнений, нужно расписать тензор F и вектора X, J, по компонентам в трехмерном виде. Получим четыре уравнения для индексов i = 0, 1, 2, 3: Шаблон:ОТФ
Подставляя в Шаблон:ОТФ соответствующие значения составляющих тензора электромагнитного поля, получим вторую пару уравнений Максвелла: Шаблон:ОТФ
Уравнения Шаблон:ОТФ и Шаблон:ОТФ являются основными уравнениями электродинамики. Легко получить уравнения Шаблон:ОТФ в интегральной форме, взяв интеграл по объему и применив теорему Гаусса: Шаблон:ОТФ
Поток электрического поля через замкнутую поверхность равен полному заряду, находящемуся в объеме, ограниченном этой поверхностью.
Аналогично, взяв интеграл по поверхности и применив теорему Стокса, получим: Шаблон:ОТФ
Первое слагаемое в подынтегральном выражении правой части Шаблон:ОТФ, называют «током смещения». Другими словами, уравнение Шаблон:ОТФ показывает, что циркуляция магнитного поля по замкнутому контуру равна сумме токов истинного и смещения, протекающих сквозь поверхность, ограниченную этим контуром.
Легко заметить, что из уравнений Шаблон:ОТФ можно получить уравнение непрерывности Шаблон:ОТФ, которое ранее мы вывели лишь из общих соображений. Действительно, если взять дивергенцию от правой и левой части Шаблон:ОТФ, то получим: Шаблон:ОТФ