Основы теоретической физики/Плотность и поток энергии

2.4.10. Плотность и поток энергии

Запишем вместе все четыре уравнения Максвелла в дифференциальном виде: Шаблон:ОТФ

Объединим первое и четвертое уравнения: Шаблон:ОТФ

Воспользуемся известной формулой векторного анализа: Шаблон:ОТФ

Подставляя Шаблон:ОТФ в Шаблон:ОТФ, получим выражение: Шаблон:ОТФ

Величина $\overrightarrow{S}=\frac{c}{4\pi }[\overrightarrow{E}\times \overrightarrow{H}]$ - называется «вектором Пойнтинга». Проинтегрируем обе части Шаблон:ОТФ по объему и применим теорему Гаусса: Шаблон:ОТФ

Если интегрирование проводится по всему пространству, интеграл по поверхности f, охватывающей бесконечный объем V, будет равен нулю так как поле в бесконечности равно нулю, поэтому: Шаблон:ОТФ

Подставим во второе слагаемое Шаблон:ОТФ определение тока Шаблон:ОТФ и заменим интегрирование по бесконечно малому заряду dq, суммированием по элементарным зарядам: Шаблон:ОТФ

Объединим Шаблон:ОТФ с формулой для мощности электромагнитного поля Шаблон:ОТФ Шаблон:ОТФ

Подставим Шаблон:ОТФ в Шаблон:ОТФ и получим следующий закон: Шаблон:ОТФ

Из Шаблон:ОТФ следует, что для замкнутой системы, состоящей из электромагнитного поля и заряженных частиц, сохраняется величина: Шаблон:ОТФ

Поскольку второе слагаемое в Шаблон:ОТФ это кинетическая энергия всех частиц в системе, то первое слагаемое имеет физический смысл энергии электромагнитного поля. Тогда формула Шаблон:ОТФ представляет собой закон сохранения энергии в замкнутой системе.

Подынтегральное выражение в Шаблон:ОТФ, называется «плотностью энергии» электромагнитного поля, или энергией единицы объема поля:

Шаблон:ОТФ

Физический смысл вектора Пойнтинга можно выяснить если взять интеграл Шаблон:ОТФ по конечному объему пространства. В этом случае интеграл по поверхности может быть не равен нулю: Шаблон:ОТФ

Левая часть Шаблон:ОТФ представляет собой изменение энергии поля в конечном объеме в единицу времени, значит интеграл в правой части – это поток поля через поверхность, ограничивающую данный объем. Таким образом вектор Пойнтинга $\overrightarrow{S}$ – это плотность потока, или количество энергии, протекающее через единицу поверхности в единицу времени.

См. также

<<Назад  |  Далее>>
Оглавление