Основы теоретической физики/Закон Кулона

2.4.11. Закон Кулона

Постоянное, не зависящее от времени, электромагнитное поле, называется «электростатическим» полем. Уравнения Максвелла для такого поля имеют вид: Шаблон:ОТФ

Из Шаблон:ОТФ получаем, что напряженность электрического поля зависит только от скалярного потенциала: Шаблон:ОТФ

Подставляя Шаблон:ОТФ в Шаблон:ОТФ, находим уравнение для потенциала электростатического поля или «уравнение Пуассона»: Шаблон:ОТФ

В пустоте, при отсутствии зарядов, из Шаблон:ОТФ получается «уравнение Лапласа»: Шаблон:ОТФ

Поле, создаваемое точечным зарядом e, можно найти из уравнения Шаблон:ОТФ, если взять интеграл по конечному объему и воспользоваться теоремой Гаусса: Шаблон:ОТФ

Из соображений симметрии понятно, что поле точечного заряда зависит только от расстояния, значит объем V представляет собой шар с площадью поверхности f, равной $4\pi R^2$, а поле на этой поверхности постоянно. Значит: Шаблон:ОТФ

Полученная формула представляет собой «закон Кулона»: поле, создаваемое точечным зарядом, обратно пропорционально квадрату расстояния до этого заряда.

Поскольку напряженность и потенциал поля зависят только от расстояния, расписывая градиент в сферических координатах, получим выражение для потенциала поля точечного заряда: Шаблон:ОТФ

Для поля, создаваемого системой зарядов, справедлив принцип суперпозиции, значит потенциал системы зарядов можно найти простым суммированием: Шаблон:ОТФ

Для произвольных зарядов удобней использовать формулу через плотность заряда, где суммирование можно заменить интегрированием по объему: Шаблон:ОТФ

См. также

<<Назад  |  Далее>>
Оглавление