Основы теоретической физики/Волновое уравнение

2.4.12. Волновое уравнение

Электромагнитное поле в пустом пространстве определяется уравнениями Максвелла, в которых плотность заряда и плотность тока должны быть равны нулю: Шаблон:ОТФ

Эти уравнения могут иметь ненулевые решения, значит электромагнитное поле может существовать при отсутствии зарядов в пространстве, при условии, что это поле явно зависит от времени. Действительно, если $\frac{\partial \overrightarrow{H}}{\partial t}=\frac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t}=0$, то уравнения Шаблон:ОТФ приобретают вид уравнений для электростатического поля, которые при отсутствии зарядов дадут нулевые решения.

Зависящие от времени электромагнитные поля, существующие в пустоте при отсутствии зарядов, называются «электромагнитными волнами». Чтобы вывести уравнение для потенциала электромагнитных волн, воспользуемся тем, что в Шаблон:ОТФ 4-потенциал определен не однозначно. То есть можно накладывать на функции потенциалов произвольные дополнительные условия, не изменяя их физического смысла. Поэтому будем полагать, что скалярный потенциал не зависит явно от времени, тогда из Шаблон:ОТФ: Шаблон:ОТФ

Подставляя Шаблон:ОТФ в Шаблон:ОТФ, получаем для напряженности электрического поля: Шаблон:ОТФ

Подставляя Шаблон:ОТФ и Шаблон:ОТФ в Шаблон:ОТФ, получим: Шаблон:ОТФ

Заметим также, что если подставить Шаблон:ОТФ в Шаблон:ОТФ, то для векторного потенциала можно получить: Шаблон:ОТФ

Выражение Шаблон:ОТФ показывает, что дивергенция векторного потенциала не зависит явно от времени.

Теперь воспользуемся тем, что векторный потенциал $\overrightarrow{A}$, определен с точностью до прибавления к нему градиента любой, независящей от времени функции $\mathrm{\nabla }k(\overrightarrow{r})$. В силу произвольности выбора, дивергенцию от векторного потенциала можно обратить в нуль: Шаблон:ОТФ

Подставляя Шаблон:ОТФ в Шаблон:ОТФ и делая замену переменных, получим: Шаблон:ОТФ

Выражение Шаблон:ОТФ – это дифференциальное уравнение, решением которого является векторный потенциал электромагнитных волн. Оно называется «уравнением д’Ламбера» или «волновое уравнение».

В четырехмерном виде можно получить более общее уравнение. Для вывода запишем вторую пару уравнений Максвелла при отсутствии зарядов через тензор электромагнитного поля из Шаблон:ОТФ: Шаблон:ОТФ

Подставим в Шаблон:ОТФ компоненты тензора F^ik, выраженные через 4-потенциал поля Шаблон:ОТФ: Шаблон:ОТФ

Наложим теперь на 4-потенциал поля дополнительное условие, которое называется «Лоренцевой калибровкой»: Шаблон:ОТФ

Легко заметить, что в трехмерной форме, условие Шаблон:ОТФ запишется в виде: Шаблон:ОТФ

Условие Шаблон:ОТФ является более общим, чем использованные ранее условия Шаблон:ОТФ и Шаблон:ОТФ. Условие Лоренца Шаблон:ОТФ, Шаблон:ОТФ имеет релятивистски инвариантный характер: потенциалы, удовлетворяющие ему в одной системе отсчета, будут удовлетворять этому условию и в любой другой системе отсчета тоже.

Подставляя Шаблон:ОТФ в Шаблон:ОТФ, получаем уравнение: Шаблон:ОТФ

Формула Шаблон:ОТФ – это волновое уравнение, записанное в четырехмерном виде.

См. также

<<Назад  |  Далее>>
Оглавление