Основы теоретической физики/Тензор энергии-импульса

2.4.13. Тензор энергии-импульса

Выражение для энергии электромагнитного поля Шаблон:ОТФ и Шаблон:ОТФ можно вывести в четырехмерном виде. Для простоты будем рассматривать поле без зарядов и проделаем выкладки в общем виде, чтобы полученные формулы можно было применять в дальнейшем не только к электромагнитным, но и к любым другим полям, в том числе к полю гравитации.

Рассмотрим некоторую систему, интеграл действия для которой имеет вид подобный рассмотренной нами ранее формуле (2.4.41): Шаблон:ОТФ

Интегрирование ведется по четырехмерному объему, а подынтегральная функция зависит от некоторых величин q и их производных от координат и времени. Эти величины (и их производные) полностью определяют механическое состояние системы. Другими словами, функцию $\mathrm{\Lambda }$ можно назвать четырехмерным аналогом функции Лагранжа. Следует отдельно отметить, что здесь мы считаем функцию $\mathrm{\Lambda }$ не зависящей явно 4-вектора Xⁱ также как классическую функции Лагранжа мы считали не зависящей явно от времени. Далее для краткости будем обозначать производные: Шаблон:ОТФ

Применим для Шаблон:ОТФ принцип наименьшего действия, приравняв к нулю вариацию действия: Шаблон:ОТФ

Ко второму члену в Шаблон:ОТФ можно применить четырехмерный аналог теоремы Гаусса как мы это делали ранее в формуле Шаблон:ОТФ: Шаблон:ОТФ

Нас интересуют физические поля, которые равны нулю в бесконечности. Поскольку интегрирование ведется по всему пространству, интеграл Шаблон:ОТФ будет равен нулю. Таким образом, формула Шаблон:ОТФ приобретает вид: Шаблон:ОТФ

Равенство нулю интеграла означает равенство нулю подынтегрального выражения: Шаблон:ОТФ

Легко заметить, что уравнения Шаблон:ОТФ являются четырехмерным обобщением классических уравнений Лагранжа Шаблон:ОТФ. Пользуясь такой аналогией, проведем преобразования, аналогичные тем, которые мы проводили при выводе закона сохранения энергии в классической механике.

Найдем частную производную функции $\mathrm{\Lambda }$: Шаблон:ОТФ

Подставим Шаблон:ОТФ в Шаблон:ОТФ: Шаблон:ОТФ

Заметим теперь, что Шаблон:ОТФ можно сгруппировать как производную произведения: Шаблон:ОТФ

Левую часть равенства Шаблон:ОТФ можно переписать, используя дельта-символ: Шаблон:ОТФ

Подставим Шаблон:ОТФ в Шаблон:ОТФ и перенесем все в одну часть равенства: Шаблон:ОТФ

Обозначим выражение в скобках как тензор второго ранга: Шаблон:ОТФ

Тогда Шаблон:ОТФ перепишется в виде: Шаблон:ОТФ

Левая часть выражения Шаблон:ОТФ — это тензорный аналог дивергенции. Как было показано при выводе уравнения непрерывности Шаблон:ОТФ, равенство нулю дивергенции означает, что сохраняется соответствующий интеграл по поверхности: Шаблон:ОТФ

Постоянный в замкнутой системе вектор Pⁱ, будем считать 4-импульсом системы. Коэффициент пропорциональности $\alpha$, нужно выбрать так, чтобы определение 4-импульса Шаблон:ОТФ совпадало с определением Шаблон:ОТФ: Шаблон:ОТФ

Проще всего найти коэффициент $\alpha$ если рассмотреть временную компоненту 4-импульса. Найдем $P^0=\frac{E}{c}$, из определения Шаблон:ОТФ считая время постоянным. Тогда интегрировать нужно по трехмерному пространству. Учитывая, что четырехмерная поверхность – это объем в трехмерном пространстве, получаем: Шаблон:ОТФ

С другой стороны, из Шаблон:ОТФ имеем: Шаблон:ОТФ

Если теперь сравнить Шаблон:ОТФ и классическое определение энергии через функцию Лагранжа Шаблон:ОТФ, то величину T⁰₀ - тоже можно было бы отождествить с энергией. Однако величина T⁰₀ в Шаблон:ОТФ интегрируется по объему, значит это не просто энергия, а «плотность энергии» системы, то есть энергия, приходящаяся на единицу объема.

Коэффициент $\alpha$ теперь легко находится: Шаблон:ОТФ

Окончательно для 4-импульса получаем выражение: Шаблон:ОТФ

Тензор (2.4.128), который стоит в подынтегральном выражении Шаблон:ОТФ, называется «тензором энергии-импульса» системы. Выражение Шаблон:ОТФ является четырехмерным аналогом закона сохранения энергии.

Если проинтегрировать Шаблон:ОТФ по гиперплоскости $X^0=\text{const}$, то выражение для 4-импульса приобретает вид: Шаблон:ОТФ

Где интегрирование ведется по всему трехмерному пространству. Сравним этот интеграл с Шаблон:ОТФ: Шаблон:ОТФ

Видно, что вектор с компонентами $(\frac{T^{10}}{c},\frac{T^{20}}{c},\frac{T^{30}}{c})$ - имеет смысл плотности импульса, а величина T⁰⁰ - плотности энергии системы.

По аналогии с классической механикой, можно определить «тензор момента импульса» системы следующим интегралом: Шаблон:ОТФ

Закон сохранения момента импульса в формулировке для четырехмерного пространства будет выглядеть как равенство константе всех компонент Шаблон:ОТФ: Шаблон:ОТФ

Сохранение интеграла по поверхности Шаблон:ОТФ означает равенство нулю дивергенции от подынтегрального выражения, воспользовавшись Шаблон:ОТФ получим: Шаблон:ОТФ

То есть чтобы выполнялся закон сохранения момента импульса Шаблон:ОТФ, тензор энергии-импульса Шаблон:ОТФ должен быть симметричным

См. также

<<Назад  |  Далее>>
Оглавление