Основы теоретической физики/Зависимость координаты от времени в задаче Кеплера

1.4.6. Зависимость координаты от времени в задаче Кеплера

В Кеплеровой задаче можно вычислить интеграл  Шаблон:ОТФ  и получить выражение для времени в явном виде. Для эллиптической орбиты (при E<0) получим: Шаблон:ОТФ

Подставим  Шаблон:ОТФ  в  Шаблон:ОТФ : Шаблон:ОТФ

После подстановки  Шаблон:ОТФ  и  Шаблон:ОТФ  в  Шаблон:ОТФ  получим: Шаблон:ОТФ

Интеграл  Шаблон:ОТФ  можно взять аналитически, если сделать замену переменных: Шаблон:ОТФ

Выбирая начало отсчета времени так, чтобы константа в  Шаблон:ОТФ  равнялась нулю, получаем параметрическое уравнение траектории частицы: Шаблон:ОТФ

Декартовые координаты траектории можно также выразить из  Шаблон:ОТФ  через тот же параметр $\theta$, воспользовавшись уравнением  Шаблон:ОТФ : Шаблон:ОТФ

Мы получили формулы для эллиптической траектории. Для случая гиперболической траектории (при инфинитном движении E>0), интеграл  Шаблон:ОТФ  также можно вычислить в явном виде через гиперболические функции с синуса и косинуса, и получить следующие параметрические уравнения для координат: Шаблон:ОТФ

См. также

<<Назад  |  Далее>>
Оглавление