Основы теоретической физики/Кеплерова задача

1.4.5. Кеплерова задача

Наиболее важным для практических применений случаем центральных полей, является поле с потенциальной энергией Шаблон:ОТФ

К полям такого типа относятся гравитационные и кулоновские. Частицы в этих полях могут испытывать на себе силы притяжения и отталкивания: Шаблон:ОТФ

Введем коэффициент пропорциональности в  Шаблон:ОТФ  и рассмотрим вначале поле притяжения: Шаблон:ОТФ

Из-за того, что потенциальная энергия отрицательна, полная энергия тоже может быть меньше нуля. Эффективная потенциальная энергия из  Шаблон:ОТФ : Шаблон:ОТФ

Рис.1.10

Функция  Шаблон:ОТФ  имеет минимум: Шаблон:ОТФ

Из графика функции $U_{\text{эф}}(r)$ видно, что если полная энергия частицы больше нуля (E>0), движение будет инфинитным, а при E<0 движение финитное.

Если подставить  Шаблон:ОТФ  в  Шаблон:ОТФ , то можно взять интеграл и получить траекторию частицы в явном виде как функцию $\phi (r)$: Шаблон:ОТФ

Для большей наглядности, если рассматривать случай финитного движения при E<0, выражение  Шаблон:ОТФ  можно преобразовать, выбрав начало отсчета таким, чтобы константа равнялась нулю и вводя новые обозначения: Шаблон:ОТФ

Подставляя  Шаблон:ОТФ  в  Шаблон:ОТФ , получим уравнение траектории в виде: Шаблон:ОТФ

Полученное выражение  Шаблон:ОТФ  – это уравнение конического сечения (эллипса) с фокусом в начале координат. То есть величины «p» и «e» в  Шаблон:ОТФ  это «параметр» и «эксцентриситет» эллиптической орбиты. Сделанный выбор начала координат означает, что точка с углом $\phi =0$ - является ближайшей к центру. Эта точка называется «перигелий» орбиты.

Ранее мы показали, что задача двух тел может быть сведена к задаче движения одного тела. Значит в случае двух тел, орбита тоже представляет собой коническое сечение с фокусом в их общем центре инерции.

Рис.1.11

Из  Шаблон:ОТФ  понятно, что если энергия E<0, то эксцентриситет e<1, то есть в этом случае орбита будет эллиптической. Большая и малая полуоси эллипса могут быть найдены по формулам: Шаблон:ОТФ

Также можно найти наименьшее и наибольшее расстояния до центра поля (до фокуса эллипса в точке 0): Шаблон:ОТФ

Эллипс переходит в окружность если эксцентриситет e=0. Значит энергия тела, движущегося по круговой орбите, находится по формуле: Шаблон:ОТФ

Время обращения по орбите (период) можно определить из второго закон Кеплера  Шаблон:ОТФ  если известна площадь орбиты (эллипса): Шаблон:ОТФ

Формула  Шаблон:ОТФ  показывает, что период в данном случае, зависит только от полной энергии частицы.

В случае инфинитного движения при $E\ge 0$, эксцентриситет e>1, значит траектория будет гиперболой, огибающей центр поля.

Рис.1.12

Выбрав начало отсчета таким, чтобы константа в  Шаблон:ОТФ  равнялась нулю и используя обозначения  Шаблон:ОТФ , получим формулы для полуоси гиперболы и для расстояния перигелия от центра: Шаблон:ОТФ

В случае если E=0, e=1, траекторией является парабола. Этот случай осуществляется, когда движение частицы начинается из состояния покоя на бесконечности.

См. также

<<Назад  |  Далее>>
Оглавление