Основы теоретической физики/Свободные одномерные колебания

1.5.1. Свободные одномерные колебания

Задача о малых колебаниях тела, является одной из наиболее простых и распространённых задач механики. Самым простым является случай системы с одной степенью свободы – свободные одномерные колебания.

Пусть устойчивому положению равновесия системы, соответствует энергия $U(q_{{}_0}{)}_{min}$. При отклонении от равновесия на систему начинает действовать сила, стремящаяся вернуть систему обратно. Пусть $q_{{}_0}$ - координата, соответствующая положению равновесия. Тогда разложение потенциальной энергии тела в ряд Тейлора, до членов второго порядка малости, будет определяться выражением: Шаблон:ОТФ

Первое слагаемое в  Шаблон:ОТФ  можно принять равным нулю, выбрав соответствующее начало системы координат, а второе слагаемое равно нулю так как должна быть равна нулю первая производная в точке экстремума.

Рис.1.13

Шаблон:ОТФ

Если выбрать систему координат такую, чтобы $q_{{}_0}=0$, обозначить вторую производную $U^{″}(q_{{}_0})=k$, тогда для декартовых координат, выражение  Шаблон:ОТФ  примет вид: Шаблон:ОТФ

Запишем кинетическую энергию для одномерного случая в обобщенных и декартовых координатах: Шаблон:ОТФ

Теперь можно подставить  Шаблон:ОТФ  и  Шаблон:ОТФ  в функцию Лагранжа и решить уравнение движения: Шаблон:ОТФ

Общее решение уравнения  Шаблон:ОТФ  ищется через замену переменной на тригонометрическую или экспоненциальную функцию. Найдем и решим характеристическое уравнение: Шаблон:ОТФ

Поскольку получилось два независимых решения, то общее решение уравнения  Шаблон:ОТФ  будет суммой: Шаблон:ОТФ

Можно воспользоваться тригонометрическим тождеством для косинуса суммы и привести  Шаблон:ОТФ  к виду: Шаблон:ОТФ

Таким образом, решение  Шаблон:ОТФ  показывает, что вблизи точки равновесия система совершает гармонические колебания по закону косинуса.

Величину a – называют «амплитудой колебаний»

Угол $\omega t+\alpha$ — называют «фазой»

Угол $\alpha$ — это начальное значение фазы, зависящее от выбора начального момента времени.

Величину $\omega$ – называют «циклической частотой колебаний». Эта частота связана с периодом колебаний и с линейной частотой соотношениями: Шаблон:ОТФ

Полную энергию системы, совершающей малые одномерные колебания, можно найти если подставить решение  Шаблон:ОТФ  в кинетическую  Шаблон:ОТФ  и потенциальную энергии  Шаблон:ОТФ : Шаблон:ОТФ

То есть энергия получается пропорциональной квадрату частоты и квадрату амплитуды колебаний. Решение  Шаблон:ОТФ  записано в вещественных числах, поскольку физические величины могут быть только вещественными. Однако оперирование экспоненциальными множителями в математическом смысле проще, чем тригонометрическими, так как дифференцирование и интегрирование не меняет их вида. Поэтому часто решение  Шаблон:ОТФ  удобно применять в виде: Шаблон:ОТФ

Величину A – называют «комплексной амплитудой». Величина X в  Шаблон:ОТФ  тогда имеет смысл «комплексной координаты».

Оперируя комплексными координатами и амплитудами, нужно понимать, что пока производятся лишь линейные операции, такие как сложение, умножение на константы, дифференцирование, интегрирование, можно вообще не брать вещественную часть, переходя к ней только в ответе.

См. также

<<Назад  |  Далее>>
Оглавление