Основы теоретической физики/Вынужденные колебания

1.5.2. Вынужденные колебания

Мы рассмотрели колебания, при которых на систему не действуют никакие поля и силы – это «свободные колебания». С другой стороны, «вынужденными» называют колебания в системе, на которую действует некоторое переменное внешнее поле. При этом очевидно, что чтобы колебания оставались малыми, внешнее поле должно быть тоже малым.

В случае, когда на систему действует внешнее поле, потенциальную энергию можно представить в виде суммы: Шаблон:ОТФ

Первое слагаемое в правой части  Шаблон:ОТФ  – это «собственная потенциальная энергия», а второе слагаемое – это дополнительная потенциальная энергия, связанная с внешним воздействием.

Пользуясь тем, что внешнее воздействие должно быть малым, разложим $U_1(x,t)$ в ряд Тейлора вблизи нуля, ограничившись первым порядком малости: Шаблон:ОТФ

Первое слагаемое в  Шаблон:ОТФ  зависит только от времени и поэтому не дает вклада в функцию Лагранжа по ее второму свойству. Второе слагаемое это вклад от переменной внешней силы, действующей на систему: Шаблон:ОТФ

Таким образом, функция Лагранжа и уравнения движения принимают вид: Шаблон:ОТФ

Решением дифференциального уравнения  Шаблон:ОТФ  будет сумма «решения уравнения без правой части» и «частного интеграла неоднородного уравнения». То есть чтобы решить  Шаблон:ОТФ , надо знать конкретный вид функции F(t).

Пусть вынуждающая сила является простой периодической функцией времени: Шаблон:ОТФ

Тогда решением уравнения  Шаблон:ОТФ  будет функция: Шаблон:ОТФ

Первое слагаемое в  Шаблон:ОТФ  – аналогично решению для свободных колебаний  Шаблон:ОТФ , а второе слагаемое – находится методом неопределенных коэффициентов. Постоянные интегрирования $a$ и $\alpha$ - определяются из начальных условий.

Как видно, под действием периодической вынуждающей силы, система совершает движение, представляющее собой совокупность двух колебаний: колебания с собственной частотой $\omega$ и колебания с частотой вынуждающей силы $\gamma$.

Нужно отметить, что решение  Шаблон:ОТФ  не применимо к случаю «резонанса»: когда частота вынуждающей силы совпадает с собственной частотой системы.

Чтобы описать случай резонанса, частный интеграл уравнения  Шаблон:ОТФ  нужно искать в виде: Шаблон:ОТФ

Подставляя  Шаблон:ОТФ  в  Шаблон:ОТФ , получим: Шаблон:ОТФ

Если взять теперь предел от выражения  Шаблон:ОТФ  при $\gamma$ стремящемся к $\omega$ , то получится неопределенность, к которой можно применить правило Лопиталя и получить для координаты выражение: Шаблон:ОТФ

То есть при резонансе амплитуда растет линейно со временем до тех пор, пока колебания не перестанут быть малыми. Для колебаний с большой амплитудой нужно использовать больше слагаемых в разложении потенциальной энергии в ряд Тейлора, тогда формулы траектории будут иметь более сложный вид.

См. также

<<Назад  |  Далее>>
Оглавление