Основы теоретической физики/Колебания систем со многими степенями свободы

1.5.3. Колебания систем со многими степенями свободы

Мы рассмотрели колебания систем с одной степенью свободы. Покажем теперь, что полученные результаты легко можно обобщить на более сложные случаи. Пусть система имеет S степеней свободы, а потенциальная энергия $U(q_1,...,q_s)$ имеет минимум при координатах $(q_1^0,q_2^0,...,q_s^0)$. Разложим потенциальную энергию в ряд Тейлора вблизи минимума: Шаблон:ОТФ

Первое слагаемое в  Шаблон:ОТФ  и все смещения $q_i^0$ можно приравнять к нулю если минимум функции $U(q_1,...,q_s)$ поместить в начало координат, второе слагаемое равно нулю так как равна нулю первая производная в точке экстремума. Значит, если ограничиться слагаемым второго порядка малости, для потенциальной энергии получим формулу: Шаблон:ОТФ

Кинетическая энергия в общем виде была найдена в формуле  Шаблон:ОТФ : Шаблон:ОТФ

Запишем функцию Лагранжа: Шаблон:ОТФ

Найдем полный дифференциал функции  Шаблон:ОТФ , при этом воспользуемся симметричностью коэффициентов $a_{ij}$ и $P_{ik}$: Шаблон:ОТФ

Теперь можно найти уравнения движения: Шаблон:ОТФ

Решение системы однородных дифференциальных уравнений  Шаблон:ОТФ  нужно искать в виде: Шаблон:ОТФ

Подставим  Шаблон:ОТФ  в  Шаблон:ОТФ : Шаблон:ОТФ

Если найти из уравнения  Шаблон:ОТФ  коэффициенты $A_j$, то найдутся и решения системы  Шаблон:ОТФ . Значит, чтобы система линейных уравнений  Шаблон:ОТФ  имела решение, должен быть равен нулю определитель: Шаблон:ОТФ

Выражение  Шаблон:ОТФ  называется «характеристическим уравнением». В общем случае характеристическое уравнение имеет S различных вещественных положительных корней ${\omega }_{\alpha }^2(\alpha =1,2,3,...,S)$. В частных случаях некоторые из корней могут совпадать. Решения уравнения  Шаблон:ОТФ  называют «собственными частотами» системы.

Подставляя собственные частоты в  Шаблон:ОТФ , можно методом Крамера найти коэффициенты $A_j$ через миноры определителя  Шаблон:ОТФ : Шаблон:ОТФ

В числителе стоит минор матрицы, составленной из коэффициентов $(P_{ij}-a_{ij}{\omega }_{\alpha }^2)$, столбец с номером j в этом миноре, заменен на «свободные члены» уравнения  Шаблон:ОТФ , то есть заменен на нули.

Таким образом, частное решение уравнения  Шаблон:ОТФ  находится по формуле: Шаблон:ОТФ

Общее решение найдется как линейная комбинация всех частных решений: Шаблон:ОТФ

Где $C_{\alpha }$ - произвольная комплексная постоянная. Решением является уравнение траектории, поэтому ответ должен быть вещественным числом.

Введем обозначение: Шаблон:ОТФ

Тогда уравнение  Шаблон:ОТФ  можно переписать в виде: Шаблон:ОТФ

Из  Шаблон:ОТФ  можно сделать вывод о том, что изменение каждой координаты системы со временем представляет собой наложение S простых периодических колебаний ${\theta }_1,...,{\theta }_s$ с произвольными амплитудами и фазами, но с определенными частотами.

Также можно рассмотреть  Шаблон:ОТФ  как систему уравнений с неизвестными переменными ${\theta }_1,...,{\theta }_s$. Решением такой системы будут функции ${\theta }_1(q_1,...,q_s),{\theta }_2(q_1,...,q_s),...,{\theta }_s(q_1,...,q_s)$. Это значит, что величины ${\theta }_1,...,{\theta }_s$ - можно рассматривать как некоторые обобщенные координаты. Такие координаты называют «нормальными координатами» системы. Колебания, совершаемые нормальными координатами, называют «нормальными колебаниями».

Из определения  Шаблон:ОТФ  очевидно, что нормальные координаты являются решением дифференциальных уравнений вида: Шаблон:ОТФ

Это значит, что в нормальных координатах уравнения движения представляют собой S независимых дифференциальных уравнений. То есть нормальные колебания системы полностью независимы и тогда функцию Лагранжа всей системы, в нормальных координатах можно считать суммой независимых функций Лагранжа каждого из колебаний: Шаблон:ОТФ

Чаще для удобства выбирают нормальные координаты так, чтобы в функции  Шаблон:ОТФ  не было массы: Шаблон:ОТФ

См. также

<<Назад  |  Далее>>
Оглавление