Основы теоретической физики/Свойства скобок Пуассона

1.3.4. Свойства скобок Пуассона

Перечислим некоторые основные свойства скобок Пуассона, большинство из которых выводятся прямо из определения  Шаблон:ОТФ  и из свойств производной от функции.

1. $\{f,g\}=-\{g,f\}$
2. $\{f,const\}=0$
3. $\{f_1+f_2,g\}=\{f_1,g\}+\{f_2,g\}$
4. $\{f_1,f_2,g\}=f_1\{f_2,g\}+f_2\{f_1,g\}$
5. $\frac{\partial }{\partial t}\{f,g\}=\{\frac{\partial f}{\partial t},g\}+\{f,\frac{\partial g}{\partial t}\}$
6. $\{f,q_{{}_k}\}=\frac{\partial f}{\partial p_{{}_k}};\{f,p_{{}_k}\}=-\frac{\partial f}{\partial q_{{}_k}}$
7. $\{q_{{}_i},q_{{}_k}\}=0;\{p_{{}_i},p_{{}_k}\}=0;\{p_{{}_i},q_{{}_k}\}={\delta }_{i,k}$
8. $\{f,\{g,h\}\}+\{g,\{h,f\}\}+\{h,\{f,g\}\}=0$

Восьмое свойство называется «тождеством Якоби». Из этого тождества можно вывести «теорему Пуассона»: если функции f и g – являются интегралами движения, то их скобка Пуассона тоже интеграл движения.

Доказательство: пусть в тождестве Якоби функция h это Гамильтониан системы, то есть h=H. Запишем это: Шаблон:ОТФ

Разобьем дальнейшее доказательство на две части: а) если функции f и g – не зависят явно от времени Воспользуемся выражением  Шаблон:ОТФ : Шаблон:ОТФ

Подставим Шаблон:ОТФ в Шаблон:ОТФ и получим то, что и требовалось доказать: Шаблон:ОТФ

б) если функции f и g – зависят явно от времени Найдем полную производную по времени от интересующей нас скобки Пуассона как от функции, в которую время входит в явном виде: Шаблон:ОТФ

В правой части Шаблон:ОТФ для первого слагаемого воспользуемся пятым свойством скобок Пуассона, а для второго слагаемого воспользуемся тождеством Якоби: Шаблон:ОТФ

Теперь сделаем перегруппировку, воспользовавшись третьим свойством скобок Пуассона: Шаблон:ОТФ

В правой части Шаблон:ОТФ, внутри скобок Пуассона, получились полные производные по времени, которые равны нулю так как по условию функции f и g - являются интегралами движения: Шаблон:ОТФ

Как видим, в Шаблон:ОТФ скобка Пуассона от интегралов движения получилась равна константе, что и требовалось доказать.

См. также

<<Назад  |  Далее>>
Оглавление