Теория функций действительного переменного/Линейные функционалы

Определения

Функционал — это правило, по которому каждому элементу некоторого множества ставится в соответствие некоторое действительное число.

Функционал $f$, заданный на линейном пространстве $L$ называют аддитивным, если он обладает следующим свойством

$f(x+y)=f(x)+f(y)\mathrm{\forall }x,y\in L$.

Функционал называется однородным, если для любого числа $\alpha$ имеет место равенство

$f(\alpha x)=\alpha f(x)\mathrm{\forall }x\in L$.

Функционал, заданный на комплексном линейном пространстве, называется сопряжённо-однородным, если если для любого числа $\alpha$ имеет место равенство

$f(\alpha x)=\bar{\alpha }f(x)\mathrm{\forall }x\in L$,

где $\bar{\alpha }$ — комплексно-сопряжённое с $\alpha$ число.

Функционал, который является одновременно аддитивным и однородным, называют линейным функционалом. Одновременно аддитивный и сопряжённо-однородный функционал называют сопряженно-линейным или полулинейным.

Геометрический смысл линейного функционала

Пусть $f$ — линейный функционал, заданный на линейном пространстве $L$ и не равный тождественно нулю.

Множество точек линейного пространства, обращающих линейный функционал в нуль, является подпространством линейного пространства $L$, которое называют подпространством нулей или ядром функционала $f$. Ядро функционала $f$ обозначается через $Ker(f)$, от английского слова kernel — ядро.

Докажем, что ядро функционала действительно является подпространством. Пусть даны два вектора $x$ и $y$ такие, что:

$f(x)=0$,

$f(y)=0$.

Пусть $a$, $b$ — произвольные вещественные числа, тогда

$f(ax+by)=af(x)+bf(y)=0$.

Таким образом, линейная комбинация элементов ядра функционала также является элементом его ядра.

Ядро функционала $f$ имеет коразмерность 1. Чтобы доказать этот факт, возьмём какую-либо точку $x_0$ не входящую в ядро, то есть такую, что $f(x_0)\ne 0$. Такой элемент всегда можно выбрать, так как в противном случае функционал $f$ будет тождественно равен нулю, а это противоречит нашему исходному предположению. Более того, можно считать, что

$f(x_0)=1$,

так как если это равенство не выполняется, то вместо $x_0$ можно было бы взять точку

$\frac{x_0}{f(x_0)}$,

в этой точке значение функционала будет равно единице, так как, по определению линейного функционала:

$f\left(\frac{x_0}{f(x_0)}\right)=\frac{f(x_0)}{f(x_0)}=1$.

Для каждой точки $x$ определим

$y=x-f(x)x_0$.

В точке $y$ выполняется следующее равенство

$f(y)=f(x-f(x)x_0)=f(x)-f(x_0)f(x)=0$,

а значит, по определению ядра линейного функционала:

$y\in Ker(f)$.

Представление элемента $x$ в виде

$x=\alpha x_0+y,y\in Ker(f)$

является единственным (при заданной точке $x_0$). Доказательство единственности проведём от противного. Пусть существуют два таких представления:

$x={\alpha }_1{x}_0+y_1,y_1\in Ker(f)$,

$x={\alpha }_2{x}_0+y_2,y_2\in Ker(f)$.

Вычтем из первого равенства второе:

$({\alpha }_1-{\alpha }_2)x_0=y_2-y_1$.

Если имеет место равенство

${\alpha }_1={\alpha }_2$,

то левая часть равенства есть нуль, а следовательно и правая часть равна нулю, то есть

$y_2=y_1$.

Если же

${\alpha }_1\ne {\alpha }_2$,

то можно получить следующее выражение для вектора $x_0$:

$x_0=\frac{y_2-y_1}{{\alpha }_1-{\alpha }_2}$.

Вычислим значение функционала в этой точке

$f(x_0)=f\left(\frac{y_2-y_1}{{\alpha }_1-{\alpha }_2}\right)=\frac{f(y_2-y_1)}{{\alpha }_1-{\alpha }_2}=\frac{f(y_2)-f(y_1)}{{\alpha }_1-{\alpha }_2}=0$,

но это противоречит предположению

$f(x_0)=1$,

а значит представление

$x=\alpha x_0+y,y\in Ker(f)$

действительно является единственным.

Докажем следующее утверждение: две точки принадлежат одному классу смежности по подпространству $Ker(f)$ тогда и только тогда, когда значения в этих точках равны. Точки $x_1$ и $x_2$ принадлежат одному классу смежности по $Ker(f)$, если

$x_1-x_2\in Ker(f)$,

то есть, по определению ядра функционала, если

$f(x_1-x_2)=0$.

В силу линейности функционала:

$f(x_1-x_2)=f(x_1)-f(x_2)$,

откуда и следует исходное утверждение.

Любой класс смежности по подпространству $Ker(f)$ определеятся любым своим представителем. В качестве представителя можно взять элемент вида $\alpha x_0$, откуда и следует, что фактор-пространство $L/Ker(f)$ имеет размерность 1, то есть ядро $Ker(f)$ имеет коразмерность 1 (по определению коразмерности).

Можно доказать, что ядро линейного функционала определяет его с точностью до постоянного множителя. Рассмотрим два функционала $f$ и $g$ с совпадающими ядрами:

$Ker(f)=Ker(g)$.

Если ядро этих функционалов совпадает со всем пространством, то очевидно, что оба функционала тождественно равны нулю в этом пространстве, и утверждение доказано. Будем считать, что функционалы $f$ и $g$ не равны тождественно нулю. Выберем элемент

$x_0:f(x_0)=1$

(выше было показано, что такой выбор всегда возможен, если функционал не равен тождественно нулю), тогда существует единственное представление

$x=f(x)x_0+y,y\in Ker(f)=Ker(g)$.

Вычислим значение функционала $g$, используя это представление:

$g(x)=g(f(x)x_0+y)=f(x)g(x_0)+g(y)=g(x_0)f(x)+0=g(x_0)f(x)$.

Если $g(x_0)=0$, то функционал $g$ был бы тождественно равен нулю, что противоречит нашему предположению. Из равенства

$g(x)=g(x_0)f(x)$

вытекает, что эти два функционала пропорциональны друг другу. Утверждение доказано.

Для всякого подпространства $L^{\prime }\subset L$, имеющего коразмерность 1, можно построить такой функционал $f$, что : $Ker(f)=L^{\prime }$. Построение осуществляется следующим образом. Выберем произвольную точку

$x_0\notin L^{\prime }$

и представить каждую точку $x\in L$ исходного пространства в виде

$x={\alpha }_x{x}_0+y,y\in L^{\prime }$.

(индекс у коэффициента разложения подчёркивает тот факт, что он различен для разных точек линейного пространства). Положив

$f(x)={\alpha }_x$,

получим линейный функционал, ядро которого совпадает с данным подпространством $L^{\prime }\subset L$.

Пусть $L^{\prime }\subset L$ — подпространство коразмерности 1. Всякий класс смежности пространства $L$ по его подпространству $L^{\prime }$ называется гиперплоскостью, параллельной подпространству $L^{\prime }\subset L$. Само подпространство является гиперплоскостью, содержащей нулевой элемент. Другими словами, гиперплоскость $H$ — это множество, получаемое сдвигом всех элементов некоторого подпространства коразмерности 1 на некоторый вектор $x_0\in L$:

$H=\{x+x_0\mid x\in L^{\prime }\}$.

Если $f$ — линейный функционал, не равный тождественно нулю, определённый на пространстве $L$, то множество

$H_f=\{x:f(x)=1\}$

называется гиперплоскостью, параллельной подпространству $Ker(f)$.

Если $H$ — гиперплоскость, параллельная подпространству $L^{\prime }\subset L$, коразмерность которого равна 1, то можно построить единственный линейный функционал $f$ такой, что

$H=\{x:f(x)=1\}$.

Это означает, что между линейными функционалами, не равными тождественно нулю, и гиперплоскостями, не проходящими через начало координат, можно установить взаимно-однозначное соответствие. В этом и заключается геометрический смысл линейного функционала.