Теория функций действительного переменного/Ортогональные системы функций

Тригонометрические системы

В данной главе приводятся лишь основные факты о рядах по тригонометрическим системам. Условия сходимости этих рядов и доказательство полноты тригонометрических систем рассмотрены отдельно.

Тригонометрическая система на отрезке $[-\pi ;\pi ]$

Рассмотрим пространство $L_2[-\pi ;\pi ]$ функций с интегрируемым квадратом на отрезке $[-\pi ;\pi ]$ с мерой Лебега. В этом пространстве функции

$1,\cos (x),\sin (x),...,\cos (nx),\sin (nx),...$

образуют полную ортогональную систему, которую называют тригонометрической. Ряд по этой системе называют рядом Фурье (в узком смысле). Ортогональность этой системы можно проверить прямым вычислением (при $n\ne m$), используя тригонометрические тождества:

$\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}1\cdot \cos (nx)dx=-\frac{1}{n}\sin (nx){|}_{-\pi }^{\pi }=0$,

$\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}1\cdot \sin (nx)dx=\frac{1}{n}\cos (nx){|}_{-\pi }^{\pi }=0$,

$\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}\cos (nx)\cos (mx)dx=\frac{1}{2}\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}\left[\cos ((n+m)x)+\cos ((n-m)x)\right]dx=0$,

$\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}\sin (nx)\sin (mx)dx=\frac{1}{2}\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}\left[\cos ((n-m)x)-\cos ((n+m)x)\right]dx=0$,

$\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}\sin (nx)\cos (mx)dx=\frac{1}{2}\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}\left[\sin ((n+m)x)+\sin ((n-m)x)\right]dx=0$.

Данная система функций не является нормированной, действительно:

$\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}{1}^{2}dx=2\pi$,

$\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}{\cos }^2(x)dx=\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}\frac{1+\cos (2x)}{2}dx=\pi$,

$\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}{\sin }^2(x)dx=\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}\frac{1-\cos (2x)}{2}dx=\pi$.

Соответствующая нормированная система состоит из функций:

$\frac{1}{\sqrt{2\pi }},\frac{\cos (nx)}{\sqrt{\pi }},\frac{\sin (nx)}{\sqrt{\pi }},n=1,2,...$.

Ряд Фурье функции $f$ по тригонометрической системе записывают в виде

$\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(a_{n}cos(nx)+b_n\sin (bx))$.

Коэффициенты этого рядка вычисляются по формулам:

$a_0=\frac{1}{\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}f(x)dx$,

$a_n=\frac{1}{\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}\cos (nx)f(x)dx$,

$b_n=\frac{1}{\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}\sin (nx)f(x)dx$.

Ряд Фурье можно построить на любом отрезке вида $[-l;l]$, где $l$ — произвольное положительное вещественное число. Сделаем следующую замену

$x=\frac{\pi t}{l}$.

Если функция $f$ является функцией с суммируемым на отрезке $[-l;l]$ квадратом, то функция

$f_1(x)=f\left(\frac{\pi x}{l}\right)$

будет функцией с интегрируемым квадратом, определённой на отрезке $[-\pi ;\pi ]$.

Ряд Фурье примет вид

$\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(a_n\cos \left(\frac{n\pi x}{l}\right)+b_n\sin \left(\frac{n\pi x}{l}\right))$.

Коэффициенты будут определяться следующими формулами:

$a_0=\frac{1}{l}\underset{-l}{\overset{l}{\int }}f(x)dx$,

$a_n=\frac{1}{l}\underset{-l}{\overset{l}{\int }}\cos \left(\frac{n\pi x}{l}\right)f(x)dx$,

$b_n=\frac{1}{l}\underset{-l}{\overset{l}{\int }}\sin \left(\frac{n\pi x}{l}\right)f(x)dx$.