Теория функций действительного переменного/Принцип сжимающиющихся отображений

Пусть $R=(M,\rho )$ — метрическое пространство.

Отображение $A$ метрического пространства $R$ в себя называется сжимающим отображением или сжатием, если существует такое положительное действительное число $\alpha <1$, что для любых двух точек $x,y\in R$ имеет место неравенство:

$\rho (Ax,Ay)\le \alpha \rho (x,y)$.

Всякое сжимающее отображение является непрерывным. Действительно, условие

$\rho (Ax,Ay)\le ϵ$

выполняется для таких точек $x,y\in R$, что

$\rho (x,y)<\delta =ϵ/\alpha$.

Точка x называется неподвижной точкой отображения A, если имеет место равенство

$Ax=x$.

Другими словами, неподвижная точка — это решение уравнения

$Ax=x$.

Теорема 1 (Принцип сжимающих отображений). Всякое сжимающее отображение $A$, заданное на полном метрическом пространстве $R$, имеет одну и только одну неподвижную точку.

Доказательство.

Пусть $x_0$ — произвольная точка пространства $R$. Положим

$x_1=A{x}_0$,

$x_2=A{x}_1=A^2{x}_0$

и так далее:

$x_n=A{x}_{n-1}=A^n{x}_0$.

Докажем, что последовательность $\{x_n\}$ является фундаментальной. Пусть, для определённости, $m>n$. Тогда

$x_m=A^m{x}_0=A^n\left(A^{m-n}x\right)=A^n{x}_{m-n}$.

По определению сжимающего отображения:

$\rho (x_n,x_m)=\rho (A^n{x}_0,A^n{x}_{m-n})\le {\alpha }^n\rho (x_0,x_{m-n})$.

Воспользуемся неравенством многоугольника:

$\rho (x_0,x_{m-n})\le \sum _{k=1}^{n-m}\rho (x_{k-1},x_k)\le \rho (x_0,x_1)\sum _{k=1}^{n-m}{\alpha }^{k-1}$.

По формуле для суммы геометрической прогрессии:

$\sum _{k=1}^{n-m}{\alpha }^{k-1}=\frac{1-{\alpha }^{n-m-1}}{1-\alpha }\le \frac{1}{1-\alpha }$.

Используем полученные соотношения:

$\rho (x_n,x_m)\le \rho (x_0,x_1)\frac{{\alpha }^n}{1-\alpha }$.

Так как $\alpha <1$, то при достаточно большом $n$ величина $\rho (x_n,x_m)$ станет меньше любого наперёд заданного вещественного числа $ϵ>0$, откуда и следует фундаментальность последовательности.

Поскольку $R$ — полное метрическое пространство, то последовательность $\{x_n\}$ будет иметь предел в этом пространстве. Обозначим этот предел как $x$:

$x=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n$.

Отображение $A$ непрерывно, поэтому

$Ax=A\left(\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n\right)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\left(A{x}_n\right)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_{n+1}=x$.

Существование неподвижной точки доказано.

Докажем теперь её единственность. Доказательство проведём от противного. Пусть у отображения $A$ есть две неподвижные точки $x$ и $y$, тогда имеют места равенства:

$Ax=x$,

$Ay=y$.

По определению сжимающего отображения:

$\rho (Ax,Ay)\le \alpha \rho (x,y)$,

с другой стороны, по определению неподвижной точки:

$\rho (Ax,Ay)=\rho (x,y)$.

Из этих двух соотношений можно вывести, что

$\rho (x,y)\le \alpha \rho (x,y)$.

Так как $\alpha <1$, то выполнение последнего неравенство возможно только если $\rho (x,y)=0$, откуда, по аксиоме тождества метрики следует, что $x=y$. Теорема доказана.

Следует отметить, что доказательство принципа сжимающих отображений конструктивно: данная теорема не только доказывает существование единственного решения, но и указывает конкретный метод приближённого нахождения этого решения (называемый методом последовательных приближений или методом простой итерации).

Принцип сжимающих отображений может быть применён для доказательства существования и единственности решения различных видов уравнений. Ниже дан простейший пример применения принципа сжимающих отображений, ещё несколько примеров приведены в следующем разделе.

Пример

Пусть функция $f$ отображает отрезок $[a,b]$ в себя и удовлетворяет на нём условию Липшица:

$|f(y)-f(x)|\le K|y-x|$

с константой $K<1$. Условие сжимаемости выполнено, в частности, если функция $f$ имеет на отрезке $[a,b]$ производную, причём

$|f^{\prime }(x)|\le K<1$.

Очевидно, что в этом случае $f$ — сжимающее отображение, поэтому в силу принципа сжимающих отображений последовательность

$x_{n+1}=f(x_n)$

сходится к решению уравнения

$x=f(x)$

для любого

$x_0\in [a,b]$.

Рассмотрим теперь уравнение вида

$F(x)=0$,

где

$F(a)<0,F(b)>0$

и на отрезке $[a,b]$ выполняются неравенства

$0<K_1\le F^{\prime }(x)\le K_2$.

Введём функцию

$f(x)=x-\lambda F(x)$

и будем искать решение уравнения

$x=f(x)$,

равносильное исходному уравнению при $\lambda \ne 0$. Так как

$f^{\prime }(x)=1-\lambda F^{\prime }(x)$,

то имеют место следующие неравенства

$1-\lambda K_2\le f^{\prime }(x)\le 1-\lambda K_1$.

Можно выбрать число $\lambda$ так, чтобы принцип сжимающих отображений был применим.